Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ? | MetMat

Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?

En utilisant les opérations sur les fonctions continues

Montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle en la décomposant en opérations élémentaires de fonctions de référence.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f\colon x\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^x}{x^2+1}$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle en la décomposant en opérations élémentaires de fonctions de référence.

Le principe

Les fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme, racine, valeur absolue) sont continues sur leur ensemble de définition, et somme, produit, quotient (dénominateur non nul), composition de fonctions continues sont continues.

La méthode

1
Je détermine l'ensemble $I$ sur lequel je veux étudier la continuité et je décompose $f$ en fonctions de référence.
2
Je cite la continuité de chaque fonction de référence sur son ensemble de définition.
3
J'applique les règles d'opérations (somme, produit, quotient en vérifiant que le dénominateur ne s'annule pas, composition en vérifiant l'image).
4
Je conclus que $f$ est continue sur $I$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f\colon x\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^x}{x^2+1}$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je détermine l'ensemble

I

sur lequel je veux étudier la continuité et je décompose

f

en fonctions de référence.

Je pose $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ , quotient d'une exponentielle par un polynôme.

Étape 2 —

Je cite la continuité de chaque fonction de référence sur son ensemble de définition.

La fonction $x\mapsto \mathrm{e}^x$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $x\mapsto x^2+1$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme polynôme.

Étape 3 —

J'applique les règles d'opérations (somme, produit, quotient en vérifiant que le dénominateur ne s'annule pas, composition en vérifiant l'image).

Pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $x^2+1\geq 1>0$ donc le dénominateur ne s'annule pas ; le quotient est continu.

Étape 4 —

Je conclus que

f

est continue sur

I

Je conclus que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée

Montrer que $g\colon x\mapsto \ln(x^2+2x+5)$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Montrer que $h\colon x\mapsto \sqrt{x-1}+|x|$ est continue sur $[1,+\infty[$ .

Application autonome 2

Montrer que $f\colon x\mapsto \dfrac{\sin(x)+\cos(x)}{x^2+1}$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Montrer que $g\colon x\mapsto \sqrt{\mathrm{e}^x-1}$ est continue sur $[0,+\infty[$ .

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