Comment montrer qu'un ensemble… : En vérifiant que le vecteur nul… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel ?

En vérifiant que le vecteur nul appartient à F et que F est stable par combinaison linéaire

Montrer qu'une partie $F$ d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - 2z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Montrer qu'une partie $F$ d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Le principe

Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F$ est non vide (en général on vérifie $0_E \in F$ ) et $F$ est stable par combinaison linéaire : $\forall (x, y) \in F^2, \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2, \lambda x + \mu y \in F$ .

La méthode

1
Je précise l'espace ambiant $E$ dans lequel $F$ est décrit et je rappelle que $E$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel.
2
Je vérifie que $0_E \in F$ (ce qui assure notamment que $F$ est non vide).
3
Je prends $x, y \in F$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ quelconques, j'exprime $\lambda x + \mu y$ et je vérifie qu'il satisfait la ou les conditions définissant $F$ .
4
Je conclus que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - 2z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

Je précise l'espace ambiant

E

dans lequel

F

est décrit et je rappelle que

E

est un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.

$E = \mathbb{R}^3$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel et $F \subset \mathbb{R}^3$ .

Étape 2 —

Je vérifie que

0_E \in F

(ce qui assure notamment que

F

est non vide).

On a $0_E = (0, 0, 0)$ et $0 + 0 - 2 \times 0 = 0$ , donc $0_E \in F$ .

Étape 3 —

Je prends

x, y \in F

\lambda, \mu \in \mathbb{R}

quelconques, j'exprime

\lambda x + \mu y

et je vérifie qu'il satisfait la ou les conditions définissant

F

Soient $u = (x, y, z) \in F$ , $u' = (x', y', z') \in F$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ . Alors $\lambda u + \mu u' = (\lambda x + \mu x', \lambda y + \mu y', \lambda z + \mu z')$ et $(\lambda x + \mu x') + (\lambda y + \mu y') - 2(\lambda z + \mu z') = \lambda(x+y-2z) + \mu(x'+y'-2z') = 0$ .

Étape 4 —

Je conclus que

F

est un sous-espace vectoriel de

E

Donc $\lambda u + \mu u' \in F$ et $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.