Comment montrer qu'un ensemble… : En vérifiant que le vecteur nul… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel ?

En vérifiant que le vecteur nul appartient à F et que F est stable par combinaison linéaire

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - 2z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

La méthode

1
Je précise l'espace ambiant $E$ dans lequel $F$ est décrit et je rappelle que $E$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel.
2
Je vérifie que $0_E \in F$ (ce qui assure notamment que $F$ est non vide).
3
Je prends $x, y \in F$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ quelconques, j'exprime $\lambda x + \mu y$ et je vérifie qu'il satisfait la ou les conditions définissant $F$ .
4
Je conclus que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - 2z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

$E = \mathbb{R}^3$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel et $F \subset \mathbb{R}^3$ .

On a $0_E = (0, 0, 0)$ et $0 + 0 - 2 \times 0 = 0$ , donc $0_E \in F$ .

Soient $u = (x, y, z) \in F$ , $u' = (x', y', z') \in F$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ . Alors $\lambda u + \mu u' = (\lambda x + \mu x', \lambda y + \mu y', \lambda z + \mu z')$ et $(\lambda x + \mu x') + (\lambda y + \mu y') - 2(\lambda z + \mu z') = \lambda(x+y-2z) + \mu(x'+y'-2z') = 0$ .

Donc $\lambda u + \mu u' \in F$ et $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

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