Comment déterminer le rang d'une famille de vecteurs ?

En extrayant une sous-famille libre maximale de la famille

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer le rang de $v_1=(1,2,3)$ , $v_2=(2,4,6)$ , $v_3=(1,0,1)$ dans $\mathbb{R}^3$ .

La méthode

1
On part de la famille vide et on ajoute les vecteurs $v_1,v_2,\dots$ un par un en vérifiant à chaque fois si $v_k$ est combinaison linéaire des vecteurs déjà conservés.
2
Si $v_k$ est combinaison linéaire des précédents conservés, on le supprime (il n'apporte rien au $\mathrm{Vect}$ ) ; sinon on le conserve.
3
On conclut : la sous-famille conservée est libre et engendre $\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p)$ , donc $\mathrm{rg}(v_1,\dots,v_p)$ est égal à son cardinal.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Déterminer le rang de $v_1=(1,2,3)$ , $v_2=(2,4,6)$ , $v_3=(1,0,1)$ dans $\mathbb{R}^3$ .

1

Je conserve $v_1\neq 0$ . Je teste $v_2$ : $v_2=2v_1$ donc $v_2$ est colinéaire à $v_1$ .

2

Je supprime $v_2$ . Je teste $v_3$ : $v_3=\lambda v_1\iff (1,0,1)=(\lambda,2\lambda,3\lambda)$ , pas de $\lambda$ solution (première coord donne $\lambda=1$ , mais deuxième coord donne $2\neq 0$ ). Je conserve $v_3$ .

3

La sous-famille libre maximale extraite est $(v_1,v_3)$ , de cardinal $2$ . Donc $\mathrm{rg}(v_1,v_2,v_3)=2$ .

$\mathrm{rg}(v_1,v_2,v_3)=2$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment exploiter la formule

\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)

?