Comment déterminer le rang d'une famille de vecteurs ?

En calculant le rang de la matrice des vecteurs par pivot de Gauss

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer le rang de $v_1=(1,2,-1)$ , $v_2=(2,3,1)$ , $v_3=(1,1,2)$ dans $\mathbb{R}^3$ .

La méthode

1
On écrit la matrice $A$ dont les lignes (ou les colonnes) sont les coordonnées des vecteurs $v_1,\dots,v_p$ dans une base de référence.
Comment déterminer les coordonnées d'un vecteur dans une base ?Voir
2
On applique le pivot de Gauss (opérations $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$ et $L_i\leftrightarrow L_j$ ) pour mettre $A$ sous forme échelonnée, sans changer son rang.
Comment résoudre un système linéaire par pivot de Gauss ?Voir
3
On compte le nombre de lignes non nulles dans la forme échelonnée : c'est le rang de la matrice, et donc le rang de la famille.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer le rang de $v_1=(1,2,-1)$ , $v_2=(2,3,1)$ , $v_3=(1,1,2)$ dans $\mathbb{R}^3$ .

1

J'écris les vecteurs en lignes : $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

2

$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ donnent $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ . Puis $L_3\leftarrow L_3-L_2$ : $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

3

Deux lignes non nulles : $\mathrm{rg}(v_1,v_2,v_3)=2$ .

$\mathrm{rg}(v_1,v_2,v_3)=2$ .

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Comment exploiter la formule

\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)

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