Comment démontrer une équivalence ?

En prouvant séparément les deux implications réciproques

L'objectif

Prouver $P \Leftrightarrow Q$ en établissant $P \Rightarrow Q$ puis $Q \Rightarrow P$ .

Le principe

Par définition, $P \Leftrightarrow Q$ équivaut à la conjonction $(P \Rightarrow Q)$ et $(Q \Rightarrow P)$ ; il suffit donc de démontrer les deux implications réciproques.

La méthode

1
Je sépare la preuve en deux parties : sens direct ( $P \Rightarrow Q$ ) et sens réciproque ( $Q \Rightarrow P$ ).
2
Je démontre l'implication directe : je suppose $P$ et j'en déduis $Q$ .
3
Je démontre l'implication réciproque : je suppose $Q$ et j'en déduis $P$ .
4
Je conclus que $P \Leftrightarrow Q$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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