Comment appliquer la formule… : En utilisant un SCE (A_i) et P(B)=sum… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment appliquer la formule des probabilités totales ?

En utilisant un SCE $(A_i)$ et $P(B)=\sum P_{A_i}(B)P(A_i)$

Calculer $P(B)$ en décomposant $B$ selon un système complet d'événements.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une maladie touche 2 % de la population. Un test donne un positif dans 95 % des cas chez les malades et 3 % chez les sains. Probabilité qu'un test pris au hasard soit positif ?

L'objectif

Calculer $P(B)$ en décomposant $B$ selon un système complet d'événements.

Le principe

Si $(A_i)_{1\le i\le n}$ est un SCE avec $P(A_i)\ne 0$ pour tout $i$ , alors $P(B)=\sum_{i=1}^n P_{A_i}(B)\,P(A_i)$ .

La méthode

1
Je choisis un système complet d'événements $(A_i)_{1\le i\le n}$ adapté au problème (souvent issu de la première étape de l'expérience).
2
Je vérifie les hypothèses : les $A_i$ sont deux à deux incompatibles, de réunion $\Omega$ , et $P(A_i)\ne 0$ pour tout $i$ .
3
Je calcule les probabilités $P(A_i)$ et les conditionnelles $P_{A_i}(B)$ (lecture d'arbre, énoncé).
4
J'applique $P(B)=\sum_{i=1}^n P_{A_i}(B)\,P(A_i)$ et je simplifie.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Une maladie touche 2 % de la population. Un test donne un positif dans 95 % des cas chez les malades et 3 % chez les sains. Probabilité qu'un test pris au hasard soit positif ?

Étape 1 —

Je choisis un système complet d'événements

(A_i)_{1\le i\le n}

adapté au problème (souvent issu de la première étape de l'expérience).

SCE : $M$ = « malade » et $\overline{M}$ = « sain ».

Étape 2 —

Je vérifie les hypothèses : les

A_i

sont deux à deux incompatibles, de réunion

\Omega

, et

P(A_i)\ne 0

pour tout

i

$M\cap\overline{M}=\emptyset$ , $M\cup\overline{M}=\Omega$ , $P(M)=0{,}02>0$ , $P(\overline{M})=0{,}98>0$ .

Étape 3 —

Je calcule les probabilités

P(A_i)

et les conditionnelles

P_{A_i}(B)

(lecture d'arbre, énoncé).

$P_M(+)=0{,}95$ et $P_{\overline{M}}(+)=0{,}03$ .

Étape 4 —

J'applique

P(B)=\sum_{i=1}^n P_{A_i}(B)\,P(A_i)

et je simplifie.

$P(+)=0{,}95\times 0{,}02+0{,}03\times 0{,}98=0{,}019+0{,}0294=0{,}0484$ .

$P(+)=0{,}0484$ .

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Comment appliquer la formule des probabilités totales ?

En utilisant un SCE (Ai)(A_i)(Ai​) et P(B)=∑PAi(B)P(Ai)P(B)=\sum P_{A_i}(B)P(A_i)P(B)=∑PAi​​(B)P(Ai​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant un SCE $(A_i)$ et $P(B)=\sum P_{A_i}(B)P(A_i)$