En utilisant un SCE $(A_i)$ et $P(B)=\sum P_{A_i}(B)P(A_i)$

Calculer $P(B)$ en décomposant $B$ selon un système complet d'événements.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une maladie touche 2 % de la population. Un test donne un positif dans 95 % des cas chez les malades et 3 % chez les sains. Probabilité qu'un test pris au hasard soit positif ?

L'objectif

Calculer $P(B)$ en décomposant $B$ selon un système complet d'événements.

Le principe

Si $(A_i)_{1\le i\le n}$ est un SCE avec $P(A_i)\ne 0$ pour tout $i$ , alors $P(B)=\sum_{i=1}^n P_{A_i}(B)\,P(A_i)$ .

La méthode

1
Je choisis un système complet d'événements $(A_i)_{1\le i\le n}$ adapté au problème (souvent issu de la première étape de l'expérience).
2
Je vérifie les hypothèses : les $A_i$ sont deux à deux incompatibles, de réunion $\Omega$ , et $P(A_i)\ne 0$ pour tout $i$ .
3
Je calcule les probabilités $P(A_i)$ et les conditionnelles $P_{A_i}(B)$ (lecture d'arbre, énoncé).
4
J'applique $P(B)=\sum_{i=1}^n P_{A_i}(B)\,P(A_i)$ et je simplifie.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Une maladie touche 2 % de la population. Un test donne un positif dans 95 % des cas chez les malades et 3 % chez les sains. Probabilité qu'un test pris au hasard soit positif ?

Étape 1 —

Je choisis un système complet d'événements

(A_i)_{1\le i\le n}

adapté au problème (souvent issu de la première étape de l'expérience).

SCE : $M$ = « malade » et $\overline{M}$ = « sain ».

Étape 2 —

Je vérifie les hypothèses : les

A_i

sont deux à deux incompatibles, de réunion

\Omega

, et

P(A_i)\ne 0

pour tout

i

$M\cap\overline{M}=\emptyset$ , $M\cup\overline{M}=\Omega$ , $P(M)=0{,}02>0$ , $P(\overline{M})=0{,}98>0$ .

Étape 3 —

Je calcule les probabilités

P(A_i)

et les conditionnelles

P_{A_i}(B)

(lecture d'arbre, énoncé).

$P_M(+)=0{,}95$ et $P_{\overline{M}}(+)=0{,}03$ .

Étape 4 —

J'applique

P(B)=\sum_{i=1}^n P_{A_i}(B)\,P(A_i)

et je simplifie.

$P(+)=0{,}95\times 0{,}02+0{,}03\times 0{,}98=0{,}019+0{,}0294=0{,}0484$ .

$P(+)=0{,}0484$ .

Application guidée

Une urne $U_1$ contient 2 rouges et 3 noires, $U_2$ contient 4 rouges et 1 noire. On choisit une urne au hasard puis on tire une boule. Probabilité que la boule soit rouge ?

Application autonome 1

Dans une classe, 60 % des étudiants ont révisé, 40 % non. Les premiers réussissent l'examen à 90 %, les seconds à 30 %. Probabilité qu'un étudiant pris au hasard réussisse ?

Application autonome 2

Dans une usine, $40\,\%$ des pièces viennent de la machine $M_1$ , $60\,\%$ de $M_2$ . Le taux de défaut est $2\,\%$ pour $M_1$ et $5\,\%$ pour $M_2$ . Probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?

Application autonome 3

Un sac contient 3 pièces : une à deux faces Pile, une équilibrée, une à deux faces Face. On tire une pièce au hasard et on la lance. Probabilité d'obtenir Pile ?

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant un SCE (Ai)(A_i)(Ai​) et P(B)=∑PAi(B)P(Ai)P(B)=\sum P_{A_i}(B)P(A_i)P(B)=∑PAi​​(B)P(Ai​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant un SCE $(A_i)$ et $P(B)=\sum P_{A_i}(B)P(A_i)$