Comment utiliser le théorème du prolongement de la dérivée ? | MetMat

Comment utiliser le théorème du prolongement de la dérivée ?

En vérifiant f continue en a, $\mathcal{C}^1$ sur $I\setminus\{a\}$ , et $\lim f'(x)=\ell$

Établir la dérivabilité et la classe $\mathcal{C}^1$ de $f$ en un point $a$ où la définition directe de $f'(a)$ n'est pas aisée.

L'objectif

Établir la dérivabilité et la classe $\mathcal{C}^1$ de $f$ en un point $a$ où la définition directe de $f'(a)$ n'est pas aisée.

Le principe

Si $f$ est continue sur $I$ , $\mathcal{C}^1$ sur $I\setminus\{a\}$ et $\lim_{x\to a}f'(x)=\ell\in\mathbb{R}$ , alors $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et $f'(a)=\ell$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur $I$ (en particulier en $a$ , par calcul direct ou prolongement par continuité).
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je montre que $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $I\setminus\{a\}$ et je calcule $f'(x)$ pour $x\ne a$ .
3
Je calcule $\lim_{x\to a}f'(x)$ ; si cette limite existe et vaut $\ell\in\mathbb{R}$ , je conclus que $f\in\mathcal{C}^1(I)$ avec $f'(a)=\ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f(x)=x^2\ln(x)$ pour $x>0$ et $f(0)=0$ . Montrer que $f\in\mathcal{C}^1([0,+\infty[)$ et calculer $f'(0)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur

I

(en particulier en

a

, par calcul direct ou prolongement par continuité).

Par croissances comparées, $\lim_{x\to 0^+}x^2\ln(x)=0=f(0)$ , donc $f$ est continue sur $[0,+\infty[$ .

Étape 2 —

Je montre que

f

est

\mathcal{C}^1

sur

I\setminus\{a\}

et je calcule

f'(x)

pour

x\ne a

Sur $]0,+\infty[$ , $f$ est $\mathcal{C}^1$ comme produit et $f'(x)=2x\ln(x)+x$ .

Étape 3 —

Je calcule

\lim_{x\to a}f'(x)

; si cette limite existe et vaut

\ell\in\mathbb{R}

, je conclus que

f\in\mathcal{C}^1(I)

avec

f'(a)=\ell

$\lim_{x\to 0^+}f'(x)=0+0=0$ (croissances comparées), donc $f\in\mathcal{C}^1([0,+\infty[)$ avec $f'(0)=0$ .

$f\in\mathcal{C}^1([0,+\infty[)$ avec $f'(0)=0$ .

Application guidée

Soit $g$ définie par $g(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x}$ pour $x\ne 0$ et $g(0)=1$ . Montrer que $g\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ .

Application autonome 1

Soit $f$ définie par $f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$ pour $x\neq 0$ et $f(0)=1$ . Montrer que $f\in\mathcal{C}^1(]-1,+\infty[)$ .

Application autonome 2

Soit $f(x)=x\sqrt{x}$ pour $x\geq 0$ . Montrer que $f\in\mathcal{C}^1([0,+\infty[)$ et calculer $f'(0)$ .

Application autonome 3

Soit $g(x)=\dfrac{1-\cos(x)}{x}$ pour $x\neq 0$ et $g(0)=0$ . Montrer que $g\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ .

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En vérifiant f continue en a, C1\mathcal{C}^1C1 sur I∖{a}I\setminus\{a\}I∖{a}, et lim⁡f′(x)=ℓ\lim f'(x)=\elllimf′(x)=ℓ

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant f continue en a, $\mathcal{C}^1$ sur $I\setminus\{a\}$ , et $\lim f'(x)=\ell$