En écrivant $u_n = v_n + o(v_n)$

Prouver $u_n \sim v_n$ en isolant un reste négligeable devant $v_n$ .

L'objectif

Prouver $u_n \sim v_n$ en isolant un reste négligeable devant $v_n$ .

Le principe

La caractérisation $u_n \sim v_n \iff u_n = v_n + o(v_n)$ permet de travailler additivement : il suffit d'écrire $u_n = v_n + r_n$ et de montrer $r_n = o(v_n)$ .

La méthode

1
On écrit $u_n = v_n + r_n$ en isolant le reste $r_n = u_n - v_n$ .
2
On montre que $r_n = o(v_n)$ , généralement en prouvant $\dfrac{r_n}{v_n} \to 0$ .
3
On conclut par la caractérisation : $u_n = v_n + o(v_n)$ donc $u_n \sim v_n$ .

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Exercice d'exemple

Montrer que $n^2 + n \sim n^2$ par isolation du reste.

Étape 1 —

On écrit

u_n = v_n + r_n

en isolant le reste

r_n = u_n - v_n

Je pose $u_n = n^2 + n$ et $v_n = n^2$ ; alors $r_n = u_n - v_n = n$ .

Étape 2 —

On montre que

r_n = o(v_n)

, généralement en prouvant

\dfrac{r_n}{v_n} \to 0

$\dfrac{r_n}{v_n} = \dfrac{n}{n^2} = \dfrac{1}{n} \to 0$ , donc $n = o(n^2)$ .

Étape 3 —

On conclut par la caractérisation :

u_n = v_n + o(v_n)

donc

u_n \sim v_n

Ainsi $n^2 + n = n^2 + o(n^2)$ , d'où $n^2 + n \sim n^2$ .

$n^2 + n \sim n^2$ .

Application guidée

Montrer que $e^n + n^{10} \sim e^n$ .

Application autonome 1

Montrer que $\ln(n) + \sqrt n \sim \sqrt n$ .

Application autonome 2

Montrer que $2^n + n^3 \sim 2^n$ .

Application autonome 3

Montrer que $\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2}\sim \tfrac{1}{2}$ .

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En écrivant un=vn+o(vn)u_n = v_n + o(v_n)un​=vn​+o(vn​)

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En écrivant $u_n = v_n + o(v_n)$