Comment déterminer l'ordre de… : En utilisant P(a) = … = P^ (k-1) (a) =… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine ?

En utilisant $P(a) = \dots = P^{(k-1)}(a) = 0$ , $P^{(k)}(a) \neq 0$

Déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine en évaluant les dérivées successives en $a$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer l'ordre de multiplicité de $2$ dans $P(X) = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ .

L'objectif

Déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine en évaluant les dérivées successives en $a$ .

Le principe

Théorème : $a$ est racine de multiplicité exactement $k$ de $P$ si et seulement si $P(a) = P'(a) = \dots = P^{(k-1)}(a) = 0$ et $P^{(k)}(a) \neq 0$ .

La méthode

1
Je calcule $P(a)$ et je vérifie $P(a) = 0$ .
2
Je calcule les dérivées successives $P'(X), P''(X), \dots$ et je les évalue en $a$ l'une après l'autre.
3
Je m'arrête au plus petit entier $k$ tel que $P^{(k)}(a) \neq 0$ .
4
Je conclus que $a$ est racine de multiplicité $k$ de $P$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer l'ordre de multiplicité de $2$ dans $P(X) = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ .

Étape 1 —

Je calcule

P(a)

et je vérifie

P(a) = 0

Je calcule $P(2) = 8 - 24 + 24 - 8 = 0$ : $2$ est racine.

Étape 2 —

Je calcule les dérivées successives

P'(X), P''(X), \dots

et je les évalue en

a

l'une après l'autre.

$P'(X) = 3X^2 - 12X + 12$ , $P'(2) = 12 - 24 + 12 = 0$ . $P''(X) = 6X - 12$ , $P''(2) = 0$ . $P'''(X) = 6$ , $P'''(2) = 6$ .

Étape 3 —

Je m'arrête au plus petit entier

k

tel que

P^{(k)}(a) \neq 0

Le plus petit $k$ tel que $P^{(k)}(2) \neq 0$ est $k = 3$ .

Étape 4 —

Je conclus que

a

est racine de multiplicité

k

P

Je conclus : $2$ est racine de multiplicité $3$ . En effet, $P(X) = (X - 2)^3$ .

$2$ est racine de multiplicité $3$ .

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Comment déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine ?

En utilisant P(a)=⋯=P(k−1)(a)=0P(a) = \dots = P^{(k-1)}(a) = 0P(a)=⋯=P(k−1)(a)=0, P(k)(a)≠0P^{(k)}(a) \neq 0P(k)(a)=0

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $P(a) = \dots = P^{(k-1)}(a) = 0$ , $P^{(k)}(a) \neq 0$