Comment déterminer l'ordre de… : En factorisant successivement par (X… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine ?

En factorisant successivement par $(X - a)$

Obtenir la factorisation $P(X) = (X - a)^k \tilde{Q}(X)$ avec $\tilde{Q}(a) \neq 0$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer l'ordre de multiplicité de $1$ dans $P(X) = X^3 - 3X + 2$ .

L'objectif

Obtenir la factorisation $P(X) = (X - a)^k \tilde{Q}(X)$ avec $\tilde{Q}(a) \neq 0$ .

Le principe

Caractérisation BO : $a$ est racine de multiplicité $k$ de $P$ si et seulement s'il existe $\tilde{Q} \in \mathbb{R}[X]$ tel que $P(X) = (X - a)^k \tilde{Q}(X)$ avec $\tilde{Q}(a) \neq 0$ .

La méthode

1
Je vérifie que $a$ est racine de $P$ : $P(a) = 0$ .
2
Je divise $P$ par $(X - a)$ : j'obtiens $P(X) = (X - a) Q_1(X)$ .
3
Je teste $Q_1(a)$ : si $Q_1(a) \neq 0$ , la multiplicité vaut $1$ ; sinon je redivise $Q_1$ par $(X - a)$ et je recommence.
4
Je poursuis tant que le quotient courant s'annule en $a$ , puis je conclus : $k$ est le nombre de factorisations effectuées avec succès.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer l'ordre de multiplicité de $1$ dans $P(X) = X^3 - 3X + 2$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

a

est racine de

P

P(a) = 0

Je vérifie $P(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ : $1$ est racine.

Étape 2 —

Je divise

P

par

(X - a)

: j'obtiens

P(X) = (X - a) Q_1(X)

Division par $(X - 1)$ : $P(X) = (X - 1)(X^2 + X - 2)$ , donc $Q_1(X) = X^2 + X - 2$ .

Étape 3 —

Je teste

Q_1(a)

: si

Q_1(a) \neq 0

, la multiplicité vaut

1

; sinon je redivise

Q_1

par

(X - a)

et je recommence.

Je teste $Q_1(1) = 1 + 1 - 2 = 0$ : la multiplicité est au moins $2$ . Je redivise : $X^2 + X - 2 = (X - 1)(X + 2)$ , donc $Q_2(X) = X + 2$ .

Étape 4 —

Je poursuis tant que le quotient courant s'annule en

a

, puis je conclus :

k

est le nombre de factorisations effectuées avec succès.

$Q_2(1) = 3 \neq 0$ , je m'arrête : $P(X) = (X - 1)^2 (X + 2)$ , donc $1$ est racine de multiplicité $2$ .

$1$ est racine double : $P(X) = (X - 1)^2 (X + 2)$ .

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Comment déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine ?

En factorisant successivement par (X−a)(X - a)(X−a)

Pour comprendre, fais des exercices !

En factorisant successivement par $(X - a)$