En supposant l'existence d'une solution puis en vérifiant qu'elle convient

Déterminer toutes les solutions d'un problème par analyse (conditions nécessaires) puis synthèse (vérification).

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que toute fonction $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

L'objectif

Déterminer toutes les solutions d'un problème par analyse (conditions nécessaires) puis synthèse (vérification).

Le principe

L'analyse donne les candidats (conditions nécessaires mais pas forcément suffisantes) ; la synthèse vérifie lesquels de ces candidats sont effectivement solutions — ce raisonnement prouve à la fois existence et unicité (ou caractérise l'ensemble des solutions).

La méthode

1
Analyse : je suppose qu'une solution existe et je note $x$ une telle solution, puis je déduis des conditions nécessaires qui contraignent $x$ jusqu'à l'identifier (ou identifier un ensemble fini de candidats).
2
Synthèse : je vérifie, pour chaque candidat obtenu, qu'il est effectivement solution du problème initial (les conditions nécessaires peuvent ne pas être suffisantes).
3
Je conclus en donnant l'ensemble des solutions — celles qui ont passé à la fois l'analyse et la synthèse.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que toute fonction $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Étape 1 —

Analyse : je suppose qu'une solution existe et je note

x

une telle solution, puis je déduis des conditions nécessaires qui contraignent

x

jusqu'à l'identifier (ou identifier un ensemble fini de candidats).

Analyse : supposons $f = p + i$ avec $p$ paire et $i$ impaire ; pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f(x) = p(x) + i(x)$ et $f(-x) = p(x) - i(x)$ , donc nécessairement $p(x) = \dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$ et $i(x) = \dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$ .

Étape 2 —

Synthèse : je vérifie, pour chaque candidat obtenu, qu'il est effectivement solution du problème initial (les conditions nécessaires peuvent ne pas être suffisantes).

Synthèse : je pose $p(x) = \dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$ et $i(x) = \dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$ ; on vérifie que $p(-x) = p(x)$ (paire), $i(-x) = -i(x)$ (impaire) et $p + i = f$ .

Étape 3 —

Je conclus en donnant l'ensemble des solutions — celles qui ont passé à la fois l'analyse et la synthèse.

Conclusion : la décomposition existe et est unique, donnée par ces formules.

$f = p + i$ avec $p(x) = \dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$ et $i(x) = \dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$ , décomposition unique.

Application guidée

Déterminer toutes les fonctions $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dérivables vérifiant $f'(x) = f(x)$ pour tout $x$ et $f(0) = 1$ .

Application autonome 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{x+1} = x - 1$ .

Application autonome 2

Déterminer toutes les fonctions $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continues vérifiant $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous $x,y\in\mathbb{R}$ et $f(1)=a$ , avec $a\in\mathbb{R}$ fixé.

Application autonome 3

Déterminer tous les couples $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ tels que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $(x+a)^2=x^2+bx+9$ .

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