Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?

En montrant $\mathrm{rg}(f)=\dim F$ (surjectivité)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z)=(x+y,\ y+z)$ . Montrer que $f$ est surjective.

La méthode

1
On note $p=\dim F$ et on détermine une famille génératrice de $\mathrm{Im}\,f$ (typiquement les images d'une base de $E$ ).
Comment montrer qu'une famille est génératrice ?Voir
2
On en extrait une base et on en déduit $\mathrm{rg}(f)$ (éventuellement via la formule du rang).
Comment calculer le rang et appliquer la formule du rang ?Voir
3
On compare $\mathrm{rg}(f)$ et $p=\dim F$ .
4
Si $\mathrm{rg}(f)=p$ , on conclut $\mathrm{Im}\,f=F$ , donc $f$ est surjective ; sinon $f$ ne l'est pas.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z)=(x+y,\ y+z)$ . Montrer que $f$ est surjective.

1

$\dim F=2$ . $\mathrm{Im}\,f=\mathrm{Vect}(f(e_1),f(e_2),f(e_3))=\mathrm{Vect}((1,0),(1,1),(0,1))$ .

2

Les vecteurs $(1,0)$ et $(0,1)$ forment déjà une base de $\mathbb{R}^2$ , donc $\mathrm{rg}(f)=2$ .

3

$\mathrm{rg}(f)=2=\dim F$ .

4

Donc $\mathrm{Im}\,f=\mathbb{R}^2$ et $f$ est surjective.

$f$ est surjective.

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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