MetMat
← Retour aux méthodes

Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?

En montrant rg(f)=dim⁡F\mathrm{rg}(f)=\dim F (surjectivité)

L'objectif

Prouver qu'une application linéaire f ⁣:E→Ff\colon E\to F, avec FF de dimension finie, est surjective.

Le principe

Si FF est de dimension finie, ff est surjective si et seulement si rg(f)=dim⁡F\mathrm{rg}(f)=\dim F (car Im f⊂F\mathrm{Im}\,f\subset F et égalité des dimensions équivaut à égalité des sous-espaces).

La méthode
  1. 1
    Je note p=dim⁡Fp=\dim F et je détermine une famille génératrice de Im f\mathrm{Im}\,f (typiquement les images d'une base de EE).
    Voir
  2. 2
    J'en extrais une base et j'en déduis rg(f)\mathrm{rg}(f) (éventuellement via la formule du rang).
    Voir
  3. 3
    Je compare rg(f)\mathrm{rg}(f) et p=dim⁡Fp=\dim F.
  4. 4
    Si rg(f)=p\mathrm{rg}(f)=p, je conclus Im f=F\mathrm{Im}\,f=F, donc ff est surjective ; sinon ff ne l'est pas.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.