Comment reconnaître et utiliser… : En reconnaissant n répétitions… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment reconnaître et utiliser une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ ?

En reconnaissant $n$ répétitions indépendantes d'un Bernoulli

Reconnaître qu'une VAR suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ et en déduire loi, espérance et variance.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance 10 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de Piles obtenus. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de $X$ , puis calculer $P(X=3)$ .

L'objectif

Reconnaître qu'une VAR suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ et en déduire loi, espérance et variance.

Le principe

Si on répète $n$ fois de manière indépendante la même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ , le nombre total $X$ de succès suit $\mathcal{B}(n,p)$ : $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour $k\in[\![0,n]\!]$ , avec $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$ .

La méthode

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Je vérifie que l'expérience consiste à répéter $n$ fois, de manière indépendante et identique, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ , et que $X$ compte le nombre total de succès.
Comment reconnaître et utiliser une loi de Bernoulli ?Voir
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J'identifie les paramètres $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité de succès à chaque épreuve).
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Je conclus $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ , $E(X)=np$ , $V(X)=np(1-p)$ , et j'écris $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ si besoin.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance 10 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de Piles obtenus. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de $X$ , puis calculer $P(X=3)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que l'expérience consiste à répéter

n

fois, de manière indépendante et identique, une épreuve de Bernoulli de paramètre

p

, et que

X

compte le nombre total de succès.

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli indépendante de paramètre $\frac{1}{2}$ , et $X$ compte le nombre de succès (Pile) sur les 10 lancers.

Étape 2 —

J'identifie les paramètres

n

(nombre de répétitions) et

p

(probabilité de succès à chaque épreuve).

Donc $n=10$ et $p=\frac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Je conclus

X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)

E(X)=np

V(X)=np(1-p)

, et j'écris

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

si besoin.

$X\hookrightarrow\mathcal{B}(10,\frac{1}{2})$ , $E(X)=5$ , $V(X)=\frac{5}{2}$ , et $P(X=3)=\binom{10}{3}\cdot\frac{1}{2^{10}}=\frac{120}{1024}=\frac{15}{128}$ .

$X\hookrightarrow\mathcal{B}(10,\frac{1}{2})$ , $E(X)=5$ , $V(X)=\frac{5}{2}$ , $P(X=3)=\frac{15}{128}$ .

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Comment reconnaître et utiliser une loi binomiale B(n,p)\mathcal{B}(n,p)B(n,p) ?

En reconnaissant nnn répétitions indépendantes d'un Bernoulli

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment reconnaître et utiliser une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ ?

En reconnaissant $n$ répétitions indépendantes d'un Bernoulli