Comment déterminer l'ensemble… : En énumérant les parties ou en… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment déterminer l'ensemble des parties d'un ensemble fini ?

En énumérant les parties ou en utilisant $\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n$

Décrire complètement $\mathcal{P}(E)$ ou déterminer son cardinal pour un ensemble fini $E$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer $\mathcal{P}(E)$ pour $E = \{a, b\}$ .

L'objectif

Décrire complètement $\mathcal{P}(E)$ ou déterminer son cardinal pour un ensemble fini $E$ .

Le principe

Si $E$ est fini de cardinal $n$ , alors $\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n$ ; et on peut lister les parties en indiquant, pour chaque élément, s'il y figure ou non.

La méthode

1
Je pose $n = \mathrm{card}(E)$ et j'écris les éléments de $E$ .
2
Je regroupe les parties par cardinal $p \in \{0, 1, \dots, n\}$ , avec $\binom{n}{p}$ parties de cardinal $p$ .
3
J'énumère explicitement chaque groupe (en commençant par $\emptyset$ , puis les singletons, les paires, etc., jusqu'à $E$ ).
4
Je vérifie la cohérence en comparant le total énuméré au cardinal attendu : $\sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} = 2^n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer $\mathcal{P}(E)$ pour $E = \{a, b\}$ .

Étape 1 —

Je pose

n = \mathrm{card}(E)

et j'écris les éléments de

E

Ici $n = \mathrm{card}(E) = 2$ et $E = \{a, b\}$ .

Étape 2 —

Je regroupe les parties par cardinal

p \in \{0, 1, \dots, n\}

, avec

\binom{n}{p}

parties de cardinal

p

Les parties se groupent par cardinal : $1$ partie de cardinal $0$ , $\binom{2}{1} = 2$ de cardinal $1$ , $1$ de cardinal $2$ .

Étape 3 —

J'énumère explicitement chaque groupe (en commençant par

\emptyset

, puis les singletons, les paires, etc., jusqu'à

E

Énumération : $\emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a,b\}$ .

Étape 4 —

Je vérifie la cohérence en comparant le total énuméré au cardinal attendu :

\sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} = 2^n

On a bien $4 = 2^2$ parties, ce qui confirme $\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n$ .

$\mathcal{P}(E) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}$ , de cardinal $4$ .

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Comment déterminer l'ensemble des parties d'un ensemble fini ?

En énumérant les parties ou en utilisant card(P(E))=2n\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^ncard(P(E))=2n

Pour comprendre, fais des exercices !

En énumérant les parties ou en utilisant $\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n$