Comment montrer qu'une fonction est convexe ?

En vérifiant la définition $f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer, par la définition, que $f\colon x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Je fixe $x,y\in I$ quelconques et $t\in[0,1]$ , et je pose $z=tx+(1-t)y$ qui appartient à $I$ (car $I$ est un intervalle).
2
Je forme la différence $\Delta(t,x,y)=t\,f(x)+(1-t)\,f(y)-f(z)$ et je cherche à montrer $\Delta\geq 0$ .
3
Je simplifie (factorisation, identité remarquable, inégalité classique) et je prouve que $\Delta\geq 0$ pour tous $x,y,t$ .
4
Je conclus que $f$ est convexe sur $I$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer, par la définition, que $f\colon x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

1

Soient $x,y\in\mathbb{R}$ et $t\in[0,1]$ ; je pose $z=tx+(1-t)y\in\mathbb{R}$ .

2

Je calcule $\Delta = tx^2+(1-t)y^2-(tx+(1-t)y)^2$ .

3

En développant, $\Delta = t(1-t)x^2+t(1-t)y^2-2t(1-t)xy = t(1-t)(x-y)^2 \geq 0$ (car $t,1-t\in[0,1]$ ).

4

L'inégalité $f(z)\leq t f(x)+(1-t)f(y)$ est vérifiée : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

$f\colon x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

En vérifiant la définition $f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$