Comment montrer qu'une fonction… : En vérifiant la définition f(tx+(1-t)y)… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une fonction est convexe ?

En vérifiant la définition $f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$

Démontrer qu'une fonction $f\colon I\to\mathbb{R}$ est convexe en revenant à la définition par inégalité barycentrique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer, par la définition, que $f\colon x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Démontrer qu'une fonction $f\colon I\to\mathbb{R}$ est convexe en revenant à la définition par inégalité barycentrique.

Le principe

$f$ est convexe sur un intervalle $I$ si et seulement si pour tous $x,y\in I$ et tout $t\in[0,1]$ , $f(tx+(1-t)y) \leq t\,f(x)+(1-t)\,f(y)$ .

La méthode

1
Je fixe $x,y\in I$ quelconques et $t\in[0,1]$ , et je pose $z=tx+(1-t)y$ qui appartient à $I$ (car $I$ est un intervalle).
2
Je forme la différence $\Delta(t,x,y)=t\,f(x)+(1-t)\,f(y)-f(z)$ et je cherche à montrer $\Delta\geq 0$ .
3
Je simplifie (factorisation, identité remarquable, inégalité classique) et je prouve que $\Delta\geq 0$ pour tous $x,y,t$ .
4
Je conclus que $f$ est convexe sur $I$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer, par la définition, que $f\colon x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je fixe

x,y\in I

quelconques et

t\in[0,1]

, et je pose

z=tx+(1-t)y

qui appartient à

I

(car

I

est un intervalle).

Soient $x,y\in\mathbb{R}$ et $t\in[0,1]$ ; je pose $z=tx+(1-t)y\in\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Je forme la différence

\Delta(t,x,y)=t\,f(x)+(1-t)\,f(y)-f(z)

et je cherche à montrer

\Delta\geq 0

Je calcule $\Delta = tx^2+(1-t)y^2-(tx+(1-t)y)^2$ .

Étape 3 —

Je simplifie (factorisation, identité remarquable, inégalité classique) et je prouve que

\Delta\geq 0

pour tous

x,y,t

En développant, $\Delta = t(1-t)x^2+t(1-t)y^2-2t(1-t)xy = t(1-t)(x-y)^2 \geq 0$ (car $t,1-t\in[0,1]$ ).

Étape 4 —

Je conclus que

f

est convexe sur

I

L'inégalité $f(z)\leq t f(x)+(1-t)f(y)$ est vérifiée : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

$f\colon x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment montrer qu'une fonction est convexe ?

En vérifiant la définition f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant la définition $f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$