Comment exploiter la matrice de… : En appliquant X_B = P_ B,B' X_ B' avec… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment exploiter la matrice de passage et changer de base ?

En appliquant $X_B = P_{B,B'}\,X_{B'}$ avec $P_{B,B'}$ la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de $B'$ dans $B$

Convertir les coordonnées d'un vecteur d'une base $B'$ vers une base $B$ (ou réciproquement) grâce à la matrice de passage.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ , soit $B$ la base canonique et $B' = (e'_1, e'_2)$ avec $e'_1 = (1, 1)$ et $e'_2 = (1, -1)$ . Le vecteur $v$ a pour coordonnées $X_{B'} = \begin{pmatrix} 2 \\\\ 3 \end{pmatrix}$ . Déterminer $X_B$ .

L'objectif

Convertir les coordonnées d'un vecteur d'une base $B'$ vers une base $B$ (ou réciproquement) grâce à la matrice de passage.

Le principe

Si $B$ et $B'$ sont deux bases d'un même espace vectoriel, la matrice de passage $P_{B,B'}$ a pour colonnes les coordonnées des vecteurs de $B'$ dans $B$ , et vérifie $X_B = P_{B,B'}\,X_{B'}$ ; de plus $P_{B,B'}$ est inversible et $P_{B',B} = P_{B,B'}^{-1}$ .

La méthode

1
On identifie la « vieille » base $B$ et la « nouvelle » base $B' = (e'_1, \ldots, e'_n)$ puis on exprime chaque $e'_j$ dans $B$ .
2
On range en colonnes les coordonnées des $e'_j$ dans $B$ pour former $P_{B,B'}$ .
3
Pour passer des coordonnées $X_{B'}$ aux coordonnées $X_B$ , on applique $X_B = P_{B,B'}\,X_{B'}$ ; dans l'autre sens, on inverse la matrice : $X_{B'} = P_{B,B'}^{-1}\,X_B$ .
4
On conclut en donnant les nouvelles coordonnées du vecteur.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

On identifie la « vieille » base

B

et la « nouvelle » base

B' = (e'_1, \ldots, e'_n)

puis on exprime chaque

e'_j

dans

B

La « vieille » base est $B$ et la « nouvelle » est $B'$ . On a $e'_1 = (1, 1)$ et $e'_2 = (1, -1)$ exprimés dans $B$ .

Étape 2 —

On range en colonnes les coordonnées des

e'_j

dans

B

pour former

P_{B,B'}

La matrice de passage est $P_{B,B'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Pour passer des coordonnées

X_{B'}

aux coordonnées

X_B

, on applique

X_B = P_{B,B'}\,X_{B'}

; dans l'autre sens, on inverse la matrice :

X_{B'} = P_{B,B'}^{-1}\,X_B

On applique $X_B = P_{B,B'}\,X_{B'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\\\ -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

On conclut en donnant les nouvelles coordonnées du vecteur.

Donc $v = 5 e_1 - e_2 = (5, -1)$ dans la base canonique.

$X_B = \begin{pmatrix} 5 \\\\ -1 \end{pmatrix}$ , soit $v = (5, -1)$ .

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Comment exploiter la matrice de passage et changer de base ?

En appliquant XB=PB,B′ XB′X_B = P_{B,B'}\,X_{B'}XB​=PB,B′​XB′​ avec PB,B′P_{B,B'}PB,B′​ la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B′B'B′ dans BBB

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $X_B = P_{B,B'}\,X_{B'}$ avec $P_{B,B'}$ la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de $B'$ dans $B$