Comment discuter le nombre de… : En analysant la forme échelonnée du… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment discuter le nombre de solutions d'un système linéaire ?

En analysant la forme échelonnée du système (paramètres, rang) pour distinguer unique/infinité/aucune solution

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Discuter selon $m\in\mathbb{R}$ le système $\begin{cases} x+y=1 \\ x+my=2 \end{cases}$ .

La méthode

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J'applique la méthode du pivot de Gauss pour échelonner le système, en traitant les paramètres avec précaution (on ne divise que par des quantités non nulles).
Comment résoudre un système linéaire par pivot de Gauss ?Voir
2
J'examine la forme échelonnée : je repère les éventuelles équations $0=c$ et je compte le nombre $r$ de pivots (rang) par rapport au nombre $n$ d'inconnues.
3
Je conclus : une équation $0=c$ avec $c\neq 0$ donne aucune solution ; sinon $r=n$ donne une unique solution et $r<n$ donne une infinité paramétrée par $n-r$ inconnues libres.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Discuter selon $m\in\mathbb{R}$ le système $\begin{cases} x+y=1 \\ x+my=2 \end{cases}$ .

$L_2\leftarrow L_2-L_1$ donne $(m-1)y=1$ .

Si $m\neq 1$ , deux pivots : rang $2$ en $2$ inconnues. Si $m=1$ , le système devient $0=1$ , équation impossible.

Si $m\neq 1$ : unique solution $y=\frac{1}{m-1}$ et $x=1-y=\frac{m-2}{m-1}$ . Si $m=1$ : aucune solution.

Unique solution $\left(\frac{m-2}{m-1},\frac{1}{m-1}\right)$ si $m\neq 1$ , aucune solution si $m=1$ .

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