Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?

En utilisant des inégalités classiques

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que la suite $u_n=\frac{\sin(n)}{n+1}$ est bornée sur $\mathbb{N}$ .

La méthode

1
J'identifie dans l'expression de $u_n$ les termes qu'on sait encadrer par une inégalité classique.
2
J'applique l'inégalité à chaque terme pertinent pour majorer (ou minorer) $u_n$ .
3
Je conclus en donnant un majorant, un minorant, ou les deux (bornitude).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que la suite $u_n=\frac{\sin(n)}{n+1}$ est bornée sur $\mathbb{N}$ .

1

Je sais que $|\sin(n)|\leq 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

2

J'obtiens $|u_n|=\frac{|\sin(n)|}{n+1} \leq \frac{1}{n+1} \leq 1$ pour tout $n \geq 0$ .

3

Je conclus que $-1 \leq u_n \leq 1$ : $(u_n)$ est bornée.

$(u_n)$ est bornée par $-1$ et $1$ .

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