En utilisant des inégalités classiques

Démontrer qu'une suite est majorée ou bornée à l'aide d'inégalités classiques.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que la suite $u_n=\frac{\sin(n)}{n+1}$ est bornée sur $\mathbb{N}$ .

L'objectif

Démontrer qu'une suite est majorée ou bornée à l'aide d'inégalités classiques.

Le principe

Les inégalités usuelles ( $|\sin x|\leq 1$ , $|\cos x|\leq 1$ , inégalité triangulaire, $\mathrm{e}^{-x}\leq 1$ pour $x \geq 0$ , etc.) fournissent directement un majorant sans récurrence.

La méthode

1
J'identifie dans l'expression de $u_n$ les termes qu'on sait encadrer par une inégalité classique.
2
J'applique l'inégalité à chaque terme pertinent pour majorer (ou minorer) $u_n$ .
3
Je conclus en donnant un majorant, un minorant, ou les deux (bornitude).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que la suite $u_n=\frac{\sin(n)}{n+1}$ est bornée sur $\mathbb{N}$ .

Étape 1 —

J'identifie dans l'expression de

u_n

les termes qu'on sait encadrer par une inégalité classique.

Je sais que $|\sin(n)|\leq 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Étape 2 —

J'applique l'inégalité à chaque terme pertinent pour majorer (ou minorer)

u_n

J'obtiens $|u_n|=\frac{|\sin(n)|}{n+1} \leq \frac{1}{n+1} \leq 1$ pour tout $n \geq 0$ .

Étape 3 —

Je conclus en donnant un majorant, un minorant, ou les deux (bornitude).

Je conclus que $-1 \leq u_n \leq 1$ : $(u_n)$ est bornée.

$(u_n)$ est bornée par $-1$ et $1$ .

Application guidée

Montrer que la suite $u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{\cos(k)}{2^k}$ est bornée.

Application autonome 1

Montrer que $u_n=\mathrm{e}^{-n}\cos(n^2)$ est bornée.

Application autonome 2

Montrer que la suite $u_n=\dfrac{2+\cos(n)}{n+1}$ est bornée.

Application autonome 3

Montrer que $u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{\sin(k)}{k^2}$ est bornée.

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