Comment montrer que deux événements sont indépendants ?

En vérifiant $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

Établir l'indépendance de deux événements par la relation produit.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance un dé équilibré. $A$ = « pair », $B$ = « $\ge 4$ ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

L'objectif

Établir l'indépendance de deux événements par la relation produit.

Le principe

Deux événements $A,B$ sont indépendants (pour $P$ ) ssi $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$ ; de façon équivalente, si $P(A)\ne 0$ , ssi $P_A(B)=P(B)$ .

La méthode

1
Je calcule $P(A)$ et $P(B)$ à partir du modèle.
2
Je calcule $P(A\cap B)$ directement (dénombrement, formule, énoncé).
3
Je compare $P(A\cap B)$ et $P(A)\,P(B)$ .
4
Je conclus : si égalité, $A$ et $B$ sont indépendants ; sinon, ils sont dépendants (et je précise la nature du lien si demandé).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré. $A$ = « pair », $B$ = « $\ge 4$ ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Étape 1 —

Je calcule

P(A)

et

P(B)

à partir du modèle.

$P(A)=3/6=1/2$ et $P(B)=3/6=1/2$ .

Étape 2 —

Je calcule

P(A\cap B)

directement (dénombrement, formule, énoncé).

$A\cap B=\{4,6\}$ donc $P(A\cap B)=2/6=1/3$ .

Étape 3 —

Je compare

P(A\cap B)

et

P(A)\,P(B)

.

$P(A)P(B)=1/4$ , différent de $1/3$ .

Étape 4 —

Je conclus : si égalité,

A

et

B

sont indépendants ; sinon, ils sont dépendants (et je précise la nature du lien si demandé).

$1/3\ne 1/4$ donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

$A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment montrer que deux événements sont indépendants ?

En vérifiant P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)P(A∩B)=P(A)P(B)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $P(A\cap B)=P(A)P(B)$