En supposant l'hypothèse vraie et en déduisant la conclusion

Prouver $P \Rightarrow Q$ par raisonnement direct.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer que si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair.

L'objectif

Prouver $P \Rightarrow Q$ par raisonnement direct.

Le principe

Par définition, $P \Rightarrow Q$ est vraie si, à chaque fois que $P$ est vraie, $Q$ l'est aussi ; on suppose $P$ et on en déduit $Q$ par une chaîne d'arguments valides.

La méthode

1
Je commence par écrire : « Supposons $P$ . »
2
Je déduis de $P$ , par une suite d'implications justifiées, des propositions intermédiaires.
3
J'obtiens $Q$ et je conclus : « Donc $P \Rightarrow Q$ . »

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer que si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair.

Étape 1 —

Je commence par écrire : « Supposons

P

. »

Supposons que $n$ soit pair.

Étape 2 —

Je déduis de

P

, par une suite d'implications justifiées, des propositions intermédiaires.

Alors il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $n = 2k$ , donc $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ , avec $2k^2 \in \mathbb{Z}$ .

Étape 3 —

J'obtiens

Q

et je conclus : « Donc

P \Rightarrow Q

. »

Donc $n^2$ est pair, ce qui prouve l'implication.

$n$ pair $\Rightarrow n^2$ pair.

Application guidée

Soient $a,b \in \mathbb{R}$ . Montrer que si $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ , alors $a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$ .

Application autonome 1

Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a \leqslant b$ . Montrer que si $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ est continue et positive, alors $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \geqslant 0$ .

Application autonome 2

Soient $x,y \in \mathbb{R}$ . Montrer que si $x < y$ , alors $\dfrac{x+y}{2} < y$ .

Application autonome 3

Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a < b$ . Montrer que si $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ est continue et strictement positive, alors $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t > 0$ .

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