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Comment montrer qu'une proposition est fausse (contre-exemple) ?

En exhibant un contre-exemple

L'objectif

Montrer qu'une proposition universelle de la forme ∀x, P(x)\forall x,\ P(x) est fausse.

Le principe

La négation de ∀x∈E, P(x)\forall x \in E,\ P(x) est ∃x∈E, ¬P(x)\exists x \in E,\ \neg P(x) : il suffit donc d'exhiber un seul élément x0∈Ex_0 \in E tel que P(x0)P(x_0) soit fausse.

La méthode
  1. 1
    J'écris explicitement la négation de la proposition : ∃x∈E, ¬P(x)\exists x \in E,\ \neg P(x).
    Voir
  2. 2
    Je propose un candidat x0∈Ex_0 \in E simple (nombre particulier, suite stationnaire, fonction constante…).
  3. 3
    Je vérifie par calcul que ¬P(x0)\neg P(x_0) est vraie, ce qui réfute la proposition.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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