En vérifiant la relation produit pour toute sous-famille

Démontrer rigoureusement l'indépendance mutuelle d'une famille finie d'événements.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance 3 pièces équilibrées. $A_i$ = « pile au $i$ -ème lancer » pour $i=1,2,3$ . Montrer que $A_1,A_2,A_3$ sont mutuellement indépendants.

L'objectif

Démontrer rigoureusement l'indépendance mutuelle d'une famille finie d'événements.

Le principe

$A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants ssi pour toute partie $I\subset\{1,\dots,n\}$ de cardinal $\ge 2$ , $P\!\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)=\prod_{i\in I} P(A_i)$ .

La méthode

1
Je calcule $P(A_i)$ pour chaque $i\in\{1,\dots,n\}$ .
2
Je liste toutes les sous-parties $I\subset\{1,\dots,n\}$ de cardinal $\ge 2$ (il y en a $2^n-n-1$ ).
3
Pour chaque $I$ , je calcule $P\!\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)$ et je vérifie qu'il est égal à $\prod_{i\in I}P(A_i)$ .
4
Si toutes les égalités sont vérifiées, je conclus à l'indépendance mutuelle ; sinon j'exhibe un sous-ensemble contredisant la relation.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance 3 pièces équilibrées. $A_i$ = « pile au $i$ -ème lancer » pour $i=1,2,3$ . Montrer que $A_1,A_2,A_3$ sont mutuellement indépendants.

Étape 1 —

Je calcule

P(A_i)

pour chaque

i\in\{1,\dots,n\}

$\Omega=\{P,F\}^3$ équiprobable : $P(A_i)=4/8=1/2$ pour chaque $i$ .

Étape 2 —

Je liste toutes les sous-parties

I\subset\{1,\dots,n\}

de cardinal

\ge 2

(il y en a

2^n-n-1

Sous-ensembles de cardinal $\ge 2$ : $\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}$ .

Étape 3 —

Pour chaque

I

, je calcule

P\!\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)

et je vérifie qu'il est égal à

\prod_{i\in I}P(A_i)

$P(A_1\cap A_2)=|\{PPP,PPF\}|/8=2/8=1/4=P(A_1)P(A_2)$ ; de même pour $\{1,3\},\{2,3\}$ . Enfin $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=|\{PPP\}|/8=1/8=(1/2)^3$ .

Étape 4 —

Si toutes les égalités sont vérifiées, je conclus à l'indépendance mutuelle ; sinon j'exhibe un sous-ensemble contredisant la relation.

Toutes les relations sont vérifiées : $A_1,A_2,A_3$ sont mutuellement indépendants.

$A_1,A_2,A_3$ sont mutuellement indépendants.

Application guidée

On lance deux dés équilibrés distincts. $A$ = « 1er dé pair », $B$ = « 2e dé pair », $C$ = « somme paire ». $A,B,C$ mutuellement indépendants ?

Application autonome 1

On tire successivement 3 cartes avec remise dans un jeu de 32. $C_i$ = « $i$ -ème carte est un cœur ». $C_1,C_2,C_3$ mutuellement indépendants ?

Application autonome 2

On tire avec remise 3 boules d'une urne contenant 5 rouges et 5 noires. $R_i$ = « la $i$ -ème boule est rouge ». Montrer que $R_1,R_2,R_3$ sont mutuellement indépendants.

Application autonome 3

On lance 4 dés équilibrés. $A_i$ = « le $i$ -ème dé donne un 6 ». Montrer que $A_1,A_2,A_3,A_4$ sont mutuellement indépendants.

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