Comment appliquer l'inégalité… : En appliquant P(|X-E(X)|≥ varepsilon)≤… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

En appliquant $P(|X-E(X)|\geq \varepsilon)\leq V(X)/\varepsilon^2$ pour X admettant espérance et variance

Majorer la probabilité que $X$ s'écarte de son espérance de plus de $\varepsilon$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ une v.a. telle que $E(X)=5$ et $V(X)=4$ . Majorer $P(|X-5|\geq 10)$ .

L'objectif

Majorer la probabilité que $X$ s'écarte de son espérance de plus de $\varepsilon$ .

Le principe

Si $X$ est une variable aléatoire discrète admettant espérance et variance, alors pour tout $\varepsilon>0$ : $P(|X-E(X)|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $X$ est une variable aléatoire discrète admettant une espérance $E(X)$ et une variance $V(X)$ finies.
Comment montrer qu'une application définit une variable aléatoire discrète ?Voir
2
Je calcule (ou j'exprime) $E(X)$ et $V(X)$ , et je fixe le seuil $\varepsilon>0$ .
3
J'applique Bienaymé-Tchebychev : $P(|X-E(X)|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$ .
4
Si besoin, je traduis en une minoration de $P(|X-E(X)|< \varepsilon)\geq 1-\dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X$ une v.a. telle que $E(X)=5$ et $V(X)=4$ . Majorer $P(|X-5|\geq 10)$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

X

est une variable aléatoire discrète admettant une espérance

E(X)

et une variance

V(X)

finies.

$X$ admet une espérance et une variance finies : les hypothèses sont satisfaites.

Étape 2 —

Je calcule (ou j'exprime)

E(X)

V(X)

, et je fixe le seuil

\varepsilon>0

On a $E(X)=5$ , $V(X)=4$ , et on fixe $\varepsilon=10>0$ .

Étape 3 —

J'applique Bienaymé-Tchebychev :

P(|X-E(X)|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}

Bienaymé-Tchebychev donne $P(|X-5|\geq 10)\leq \dfrac{4}{100}=\dfrac{1}{25}$ .

Étape 4 —

Si besoin, je traduis en une minoration de

P(|X-E(X)|< \varepsilon)\geq 1-\dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}

On en déduit $P(|X-5|<10)\geq 1-\dfrac{1}{25}=\dfrac{24}{25}$ .

$P(|X-5|\geq 10)\leq \dfrac{1}{25}$ .

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Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

En appliquant P(∣X−E(X)∣≥ε)≤V(X)/ε2P(|X-E(X)|\geq \varepsilon)\leq V(X)/\varepsilon^2P(∣X−E(X)∣≥ε)≤V(X)/ε2 pour X admettant espérance et variance

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $P(|X-E(X)|\geq \varepsilon)\leq V(X)/\varepsilon^2$ pour X admettant espérance et variance