Comment lever une forme indéterminée ?

En utilisant les croissances comparées $x^a \ln(x)^b$ , $x^a e^{-bx}$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x\to +\infty} x^2\,\mathrm{e}^{-x}$ .

La méthode

1
J'identifie la forme indéterminée (souvent $0\times\infty$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ ) et les fonctions en présence (puissance, $\ln$ , $\mathrm{e}^x$ ).
2
Je choisis la croissance comparée adaptée : $\lim_{x\to+\infty} x^a\mathrm{e}^{-bx}=0$ $(b>0)$ , $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)^b}{x^a}=0$ $(a>0)$ , $\lim_{x\to 0^+} x^a|\ln x|^b=0$ $(a>0)$ .
Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?Voir
3
Je mets l'expression sous la forme standard d'une croissance comparée, éventuellement par changement de variable.
Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?Voir
4
J'applique le théorème et je conclus.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x\to +\infty} x^2\,\mathrm{e}^{-x}$ .

1

Je calcule $\lim_{x\to+\infty} x^2=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$ : FI $\infty\times 0$ .

2

Je reconnais la croissance comparée $\lim_{x\to+\infty} x^a\mathrm{e}^{-bx}=0$ avec $a=2$ et $b=1>0$ .

3

L'expression est déjà sous la forme standard $x^2\mathrm{e}^{-x}$ .

4

Je conclus $\lim_{x\to+\infty} x^2\mathrm{e}^{-x}=0$ .

$\lim_{x\to+\infty} x^2\mathrm{e}^{-x}=0$ .

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Comment déterminer

f(I)

pour

f

continue sur un intervalle

I

?

Comment approcher une racine de

f(x)=0

par dichotomie ?

Comment lever une forme indéterminée ?

En utilisant les croissances comparées xaln⁡(x)bx^a \ln(x)^bxaln(x)b, xae−bxx^a e^{-bx}xae−bx

Pour comprendre, passons aux exercices.

En utilisant les croissances comparées $x^a \ln(x)^b$ , $x^a e^{-bx}$