Comment calculer une limite par encadrement ou composition ?

En encadrant $f(x)$ par deux fonctions de même limite, ou en composant avec une suite

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sin(x)}{x}$ .

La méthode

1
Je repère l'expression à encadrer (souvent avec $\sin$ , $\cos$ , partie entière, ou $|\cdot|$ ) et le point $a$ où j'étudie la limite.
2
Je choisis deux fonctions $g$ et $h$ telles que $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ au voisinage de $a$ en majorant et minorant les termes bornés.
3
Je calcule $\lim_{x\to a} g(x)$ et $\lim_{x\to a} h(x)$ et je vérifie qu'elles sont égales à $\ell$ .
4
J'applique le théorème d'encadrement (ou, si l'on passe par une suite, le théorème de composition limite-suite) et je conclus $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ .
Comment calculer la limite par encadrement (gendarmes) ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sin(x)}{x}$ .

1

Je pose $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$ et j'étudie la limite en $+\infty$ où le numérateur est borné.

2

J'utilise $-1\leq \sin(x)\leq 1$ , donc pour $x>0$ : $-\dfrac{1}{x}\leq \dfrac{\sin(x)}{x}\leq \dfrac{1}{x}$ .

3

Je calcule $\lim_{x\to+\infty}-\dfrac{1}{x}=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$ .

4

Par le théorème des gendarmes, je conclus $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}=0$ .

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}=0$ .

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Comment calculer une limite par encadrement ou composition ?

En encadrant f(x)f(x)f(x) par deux fonctions de même limite, ou en composant avec une suite

Pour comprendre, passons aux exercices.

En encadrant $f(x)$ par deux fonctions de même limite, ou en composant avec une suite