Comment calculer une limite par encadrement ou composition ? | MetMat

Comment calculer une limite par encadrement ou composition ?

En encadrant $f(x)$ par deux fonctions de même limite, ou en composant avec une suite

Conclure à l'existence d'une limite en bornant $f$ par deux fonctions convergeant vers la même valeur, ou en passant par une suite.

L'objectif

Conclure à l'existence d'une limite en bornant $f$ par deux fonctions convergeant vers la même valeur, ou en passant par une suite.

Le principe

Si $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ au voisinage de $a$ avec $\lim g=\lim h=\ell$ , alors $\lim f=\ell$ ; et si $f$ a pour limite $\ell$ en $a$ , alors pour toute suite $(u_n)\to a$ , $(f(u_n))\to\ell$ .

La méthode

1
Je repère l'expression à encadrer (souvent avec $\sin$ , $\cos$ , partie entière, ou $|\cdot|$ ) et le point $a$ où j'étudie la limite.
2
Je choisis deux fonctions $g$ et $h$ telles que $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ au voisinage de $a$ en majorant et minorant les termes bornés.
3
Je calcule $\lim_{x\to a} g(x)$ et $\lim_{x\to a} h(x)$ et je vérifie qu'elles sont égales à $\ell$ .
4
J'applique le théorème d'encadrement (ou, si l'on passe par une suite, le théorème de composition limite-suite) et je conclus $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ .
Comment calculer la limite par encadrement (gendarmes) ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sin(x)}{x}$ .

Étape 1 —

Je repère l'expression à encadrer (souvent avec

\sin

\cos

, partie entière, ou

|\cdot|

) et le point

a

où j'étudie la limite.

Je pose $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$ et j'étudie la limite en $+\infty$ où le numérateur est borné.

Étape 2 —

Je choisis deux fonctions

g

h

telles que

g(x)\leq f(x)\leq h(x)

au voisinage de

a

en majorant et minorant les termes bornés.

J'utilise $-1\leq \sin(x)\leq 1$ , donc pour $x>0$ : $-\dfrac{1}{x}\leq \dfrac{\sin(x)}{x}\leq \dfrac{1}{x}$ .

Étape 3 —

Je calcule

\lim_{x\to a} g(x)

\lim_{x\to a} h(x)

et je vérifie qu'elles sont égales à

\ell

Je calcule $\lim_{x\to+\infty}-\dfrac{1}{x}=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$ .

Étape 4 —

J'applique le théorème d'encadrement (ou, si l'on passe par une suite, le théorème de composition limite-suite) et je conclus

\lim_{x\to a} f(x)=\ell

Par le théorème des gendarmes, je conclus $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}=0$ .

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}=0$ .

Application guidée

Calculer $\lim_{x\to 0} x^2\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{n\to+\infty} \mathrm{e}^{1/n}$ en utilisant la composition avec une suite.

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cos(x)+\sin(x)}{x}$ .

Application autonome 3

Calculer $\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)$ par composition avec une suite.

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En encadrant f(x)f(x)f(x) par deux fonctions de même limite, ou en composant avec une suite

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En encadrant $f(x)$ par deux fonctions de même limite, ou en composant avec une suite