Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ?

En vérifiant $f$ continue sur $[a,b]$ et $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet au moins une solution dans $[0, 1]$ .

La méthode

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Je vérifie que $f$ est continue sur le segment $[a, b]$ (opérations sur les fonctions de référence, composition).
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je calcule $f(a)$ et $f(b)$ et je vérifie que $k$ est compris entre ces deux valeurs (i.e. $\min(f(a), f(b)) \leq k \leq \max(f(a), f(b))$ ).
3
Par le TVI, je conclus qu'il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$ (unicité non garantie par cette seule méthode).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet au moins une solution dans $[0, 1]$ .

1

La fonction $f \colon x \mapsto x^3 + x - 1$ est polynomiale, donc continue sur $[0, 1]$ .

2

$f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ , donc $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(1)$ .

3

Par le TVI, il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f(c) = 0$ : l'équation admet au moins une solution dans $[0, 1]$ .

L'équation admet au moins une solution dans $[0, 1]$ .

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Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ?

En vérifiant fff continue sur [a,b][a,b][a,b] et kkk entre f(a)f(a)f(a) et f(b)f(b)f(b)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En vérifiant $f$ continue sur $[a,b]$ et $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$