Comment calculer l'espérance d'une VAR finie ?

En calculant $E(X)=\sum x\,P(X=x)$

Calculer explicitement l'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire finie.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ le résultat d'un lancer de dé équilibré à 6 faces. Calculer $E(X)$ .

L'objectif

Calculer explicitement l'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire finie.

Le principe

Si $X$ est une VAR finie, son espérance est $E(X)=\displaystyle\sum_{x\in X(\Omega)} x\,P(X=x)$ ; cette somme est toujours définie puisqu'elle est finie.

La méthode

1
Je détermine (ou je reprends) la loi de $X$ : l'ensemble $X(\Omega)$ et les probabilités $P(X=x)$ .
2
Je forme la somme finie $\displaystyle\sum_{x\in X(\Omega)} x\,P(X=x)$ , en regroupant et simplifiant les termes si possible.
3
Je conclus par la valeur numérique de $E(X)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X$ le résultat d'un lancer de dé équilibré à 6 faces. Calculer $E(X)$ .

Étape 1 —

Je détermine (ou je reprends) la loi de

X

: l'ensemble

X(\Omega)

et les probabilités

P(X=x)

.

$X(\Omega)=[\![1,6]\!]$ et $P(X=k)=\frac{1}{6}$ pour tout $k\in[\![1,6]\!]$ .

Étape 2 —

Je forme la somme finie

\displaystyle\sum_{x\in X(\Omega)} x\,P(X=x)

, en regroupant et simplifiant les termes si possible.

$E(X)=\sum_{k=1}^{6} k\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\cdot\frac{6\cdot 7}{2}=\frac{21}{6}$ .

Étape 3 —

Je conclus par la valeur numérique de

E(X)

.

On obtient $E(X)=\frac{7}{2}$ .

$E(X)=\frac{7}{2}=3{,}5$ .

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Comment calculer l'espérance d'une VAR finie ?

En calculant E(X)=∑x P(X=x)E(X)=\sum x\,P(X=x)E(X)=∑xP(X=x)

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $E(X)=\sum x\,P(X=x)$