Comment prolonger une fonction par continuité ?

En calculant $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ (finie) et en posant $\tilde f(a)=\ell$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Prolonger par continuité en $0$ la fonction $f \colon \mathbb{R}^* \to \mathbb{R},\ x \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est définie et continue sur $I \setminus \{a\}$ et j'identifie le point $a$ problématique.
2
Je calcule $\lim_{x \to a} f(x)$ (opérations algébriques, taux d'accroissement, croissances comparées…) et je vérifie qu'elle est finie, égale à $\ell$ .
Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?Voir
3
Je pose $\tilde f(a) = \ell$ et $\tilde f(x) = f(x)$ pour $x \neq a$ ; par construction $\tilde f$ est continue en $a$ , donc sur $I$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Prolonger par continuité en $0$ la fonction $f \colon \mathbb{R}^* \to \mathbb{R},\ x \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ .

1

$f$ est continue sur $\mathbb{R}^*$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas ; le point problématique est $a = 0$ .

2

Par le taux d'accroissement de $\sin$ en $0$ , $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \sin'(0) = \cos(0) = 1$ , limite finie.

3

On pose $\tilde f(0) = 1$ et $\tilde f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ pour $x \neq 0$ : $\tilde f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

$\tilde f(0) = 1$ .

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Comment prolonger une fonction par continuité ?

En calculant lim⁡x→af(x)=ℓ\lim_{x\to a} f(x)=\elllimx→a​f(x)=ℓ (finie) et en posant f~(a)=ℓ\tilde f(a)=\ellf~​(a)=ℓ

Pour comprendre, passons aux exercices.

En calculant $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ (finie) et en posant $\tilde f(a)=\ell$