Comment manipuler les… : En appliquant Pascal et la symétrie — ECG1 approfondies | MetMat

Comment manipuler les coefficients binomiaux ?

En appliquant Pascal et la symétrie

Simplifier une expression ou démontrer une identité combinatoire en exploitant les formules sur les coefficients binomiaux.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que pour $1 \leq k \leq n$ , $k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$ .

L'objectif

Simplifier une expression ou démontrer une identité combinatoire en exploitant les formules sur les coefficients binomiaux.

Le principe

Pour $0 \leq k \leq n$ : symétrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ ; Pascal $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ ; formule du pion $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$ .

La méthode

1
Je repère la structure de l'expression : présence de $\binom{n}{k}$ et $\binom{n}{k+1}$ (Pascal), de $\binom{n}{k}$ et $\binom{n}{n-k}$ (symétrie) ou d'un facteur $k$ (formule du pion).
2
J'applique la formule pertinente : Pascal pour fusionner deux coefficients consécutifs, symétrie pour renverser l'indice, formule du pion pour absorber un facteur $k$ .
3
Je réindexe la somme si nécessaire (changement d'indice $k \to k-1$ ou $k \to n-k$ ).
4
Je simplifie et je reconnais éventuellement une somme connue (binôme de Newton, $2^n$ …) pour conclure.
Comment utiliser la formule du binôme de Newton ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que pour $1 \leq k \leq n$ , $k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$ .

Étape 1 —

Je repère la structure de l'expression : présence de

\binom{n}{k}

\binom{n}{k+1}

(Pascal), de

\binom{n}{k}

\binom{n}{n-k}

(symétrie) ou d'un facteur

k

(formule du pion).

Je reconnais le membre de gauche comme une application de la formule du pion.

Étape 2 —

J'applique la formule pertinente : Pascal pour fusionner deux coefficients consécutifs, symétrie pour renverser l'indice, formule du pion pour absorber un facteur

k

Je pars de la définition : $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ , donc $k \binom{n}{k} = \dfrac{k \cdot n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$ .

Étape 3 —

Je réindexe la somme si nécessaire (changement d'indice

k \to k-1

k \to n-k

Je réécris : $\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!} = n \cdot \dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = n \binom{n-1}{k-1}$ .

Étape 4 —

Je simplifie et je reconnais éventuellement une somme connue (binôme de Newton,

2^n

…) pour conclure.

Donc $k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$ .

$k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$ .

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