Comment montrer qu'une application est bijective ?

En exhibant une application réciproque

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto 3x + 5$ est bijective en exhibant sa réciproque.

La méthode

1
Je propose une application candidate $g \colon F \to E$ (par analyse de l'équation $f(x) = y$ ).
2
Je vérifie que pour tout $x \in E$ , $g(f(x)) = x$ , c'est-à-dire $g \circ f = \mathrm{id}_E$ .
3
Je vérifie que pour tout $y \in F$ , $f(g(y)) = y$ , c'est-à-dire $f \circ g = \mathrm{id}_F$ ; j'en déduis que $f$ est bijective et que $f^{-1} = g$ .
Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto 3x + 5$ est bijective en exhibant sa réciproque.

1

Je pose $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ y \mapsto \frac{y - 5}{3}$ .

2

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $g(f(x)) = \frac{(3x + 5) - 5}{3} = x$ , donc $g \circ f = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ .

3

Pour tout $y \in \mathbb{R}$ , $f(g(y)) = 3 \cdot \frac{y - 5}{3} + 5 = y$ , donc $f \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ : $f$ est bijective de réciproque $g$ .

$f$ est bijective, $f^{-1}(y) = \frac{y - 5}{3}$ .

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Comment déterminer l'application réciproque d'une bijection ?