En montrant $\sum \lambda_i v_i = 0_E \Rightarrow \forall i, \lambda_i = 0$

L'objectif

Prouver qu'une famille finie $(v_1, \ldots, v_n)$ est libre dans un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ .

Le principe

Une famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est libre si et seulement si $\forall (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n, \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i = 0_E \Rightarrow \forall i \in \{1, \ldots, n\}, \lambda_i = 0 \right)$ .

La méthode

1
Je soupose $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i = 0_E$ avec $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n$ .
2
Je traduis cette égalité en un système linéaire homogène en les $\lambda_i$ (en identifiant les coordonnées, ou en évaluant en des points bien choisis si les $v_i$ sont des polynômes).
3
Je résous le système et je montre que l'unique solution est $\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0$ .
4
Je conclus que la famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est libre.

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Montrer que la famille $(v_1, v_2, v_3) = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

Application guidée 2

Montrer que la famille $(1, X, X^2)$ est libre dans $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 1

Montrer que la famille $(P_1, P_2, P_3) = (1, X - 1, (X - 1)^2)$ est libre dans $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 2

La famille $\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right)$ est-elle libre dans $\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$ ?

Application autonome 3

Montrer que la famille $(v_1,v_2)=((1,2,3),(4,5,6))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En montrant ∑λivi=0E⇒∀i,λi=0\sum \lambda_i v_i = 0_E \Rightarrow \forall i, \lambda_i = 0∑λi​vi​=0E​⇒∀i,λi​=0

Évalue la méthode

En montrant $\sum \lambda_i v_i = 0_E \Rightarrow \forall i, \lambda_i = 0$