Comment approcher une intégrale par sommes de Riemann / méthode des rectangles ? | MetMat

Comment approcher une intégrale par sommes de Riemann / méthode des rectangles ?

En utilisant $\frac{b-a}{n}\sum f\!\left(a+k\frac{b-a}{n}\right) \to \int_a^b f$

Calculer la limite d'une somme en la reconnaissant comme somme de Riemann d'une intégrale.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}$ .

L'objectif

Calculer la limite d'une somme en la reconnaissant comme somme de Riemann d'une intégrale.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ (de classe $\mathcal{C}^1$ suffit pour la démonstration au programme), alors $\displaystyle \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(a+k\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ (idem avec $k=0$ à $n-1$ ).

La méthode

1
Je factorise le terme général pour faire apparaître $\frac{1}{n}$ ou $\frac{b-a}{n}$ , puis j'identifie la fonction $f$ évaluée en $a+k\frac{b-a}{n}$ .
2
Je précise les bornes $a$ , $b$ et vérifie que $f$ est continue sur $[a,b]$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
3
J'applique le théorème des sommes de Riemann : la limite vaut $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ .
4
Je calcule l'intégrale par primitive (ou autre méthode) pour obtenir la valeur de la limite.
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}$ .

Étape 1 —

Je factorise le terme général pour faire apparaître

\frac{1}{n}

\frac{b-a}{n}

, puis j'identifie la fonction

f

évaluée en

a+k\frac{b-a}{n}

Je pose $S_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right)$ avec $f(t)=t$ et pas $\frac{1}{n}=\frac{b-a}{n}$ soit $b-a=1$ .

Étape 2 —

Je précise les bornes

a

b

et vérifie que

f

est continue sur

[a,b]

On prend $a=0$ , $b=1$ ; $f(t)=t$ est continue sur $[0,1]$ .

Étape 3 —

J'applique le théorème des sommes de Riemann : la limite vaut

\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t

Par le théorème : $S_n \to \int_0^1 t\,\mathrm{d}t$ .

Étape 4 —

Je calcule l'intégrale par primitive (ou autre méthode) pour obtenir la valeur de la limite.

$\int_0^1 t\,\mathrm{d}t = \left[\frac{t^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$ , donc $\lim S_n = \frac{1}{2}$ .

$\lim S_n = \dfrac{1}{2}$ .

Application guidée

Calculer $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$ .

Application autonome 1

Calculer $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2}$ .

Application autonome 2

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\dfrac{k}{n}}$ .

Application autonome 3

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\mathrm{e}^{k/n}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant b−an∑f ⁣(a+kb−an)→∫abf\frac{b-a}{n}\sum f\!\left(a+k\frac{b-a}{n}\right) \to \int_a^b fnb−a​∑f(a+knb−a​)→∫ab​f

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\frac{b-a}{n}\sum f\!\left(a+k\frac{b-a}{n}\right) \to \int_a^b f$