Comment majorer une intégrale ? | MetMat

Comment majorer une intégrale ?

En utilisant $\left|\int f\right| \leq \int |f|$ puis en majorant $|f|$

Obtenir une majoration explicite d'une intégrale non calculable.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\left|\int_0^1 \frac{\sin t}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\right| \leq 1$ .

L'objectif

Obtenir une majoration explicite d'une intégrale non calculable.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a \leq b$ , alors $\left|\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\right| \leq \int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t$ ; si de plus $|f(t)|\leq M$ sur $[a,b]$ , alors $\left|\int_a^b f\right| \leq M(b-a)$ .

La méthode

1
Je vérifie $a\leq b$ et que $f$ est continue sur $[a,b]$ ; j'applique $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je cherche un majorant $M$ de $|f(t)|$ sur $[a,b]$ (étude de $|f|$ , inégalités usuelles, majorations classiques).
3
Par croissance de l'intégrale, j'écris $\int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t \leq \int_a^b M\,\mathrm{d}t = M(b-a)$ .
4
Je conclus $\left|\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\right| \leq M(b-a)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $\left|\int_0^1 \frac{\sin t}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\right| \leq 1$ .

Étape 1 —

Je vérifie

a\leq b

et que

f

est continue sur

[a,b]

; j'applique

\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|

La fonction $f(t)=\frac{\sin t}{1+t^2}$ est continue sur $[0,1]$ , $0\leq 1$ , donc $\left|\int_0^1 f\right|\leq \int_0^1 |f|$ .

Étape 2 —

Je cherche un majorant

M

|f(t)|

sur

[a,b]

(étude de

|f|

, inégalités usuelles, majorations classiques).

Pour tout $t\in[0,1]$ : $|\sin t|\leq 1$ et $1+t^2\geq 1$ donc $|f(t)|\leq 1$ ; je prends $M=1$ .

Étape 3 —

Par croissance de l'intégrale, j'écris

\int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t \leq \int_a^b M\,\mathrm{d}t = M(b-a)

Donc $\int_0^1 |f(t)|\,\mathrm{d}t \leq \int_0^1 1\,\mathrm{d}t = 1$ .

Étape 4 —

Je conclus

\left|\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\right| \leq M(b-a)

Ainsi $\left|\int_0^1 \frac{\sin t}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\right| \leq 1(1-0) = 1$ .

$\left|\int_0^1 \dfrac{\sin t}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\right| \leq 1$ .

Application guidée

Montrer que $\left|\int_0^1 t^n e^{-t}\,\mathrm{d}t\right| \leq \frac{1}{n+1}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 1

Montrer que $\left|\int_1^2 \frac{\ln t}{t^3}\,\mathrm{d}t\right| \leq \ln 2$ .

Application autonome 2

Montrer que $\left|\int_0^{\pi} \dfrac{\cos(t)}{1+t}\,\mathrm{d}t\right| \leqslant \ln(1+\pi)$ .

Application autonome 3

Pour $n\in\mathbb{N}^*$ , montrer que $\left|\int_0^1 \dfrac{\sin(nt)}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\right|\leqslant 1$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant ∣∫f∣≤∫∣f∣\left|\int f\right| \leq \int |f|​∫f​≤∫∣f∣ puis en majorant ∣f∣|f|∣f∣

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\left|\int f\right| \leq \int |f|$ puis en majorant $|f|$