En utilisant $\left|\int f\right| \leq \int |f|$ puis en majorant $|f|$

L'objectif

Obtenir une majoration explicite d'une intégrale non calculable.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a \leq b$ , alors $\left|\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\right| \leq \int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t$ ; si de plus $|f(t)|\leq M$ sur $[a,b]$ , alors $\left|\int_a^b f\right| \leq M(b-a)$ .

La méthode

1
Je vérifie $a\leq b$ et que $f$ est continue sur $[a,b]$ ; j'applique $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je cherche un majorant $M$ de $|f(t)|$ sur $[a,b]$ (étude de $|f|$ , inégalités usuelles, majorations classiques).
3
Par croissance de l'intégrale, j'écris $\int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t \leq \int_a^b M\,\mathrm{d}t = M(b-a)$ .
4
Je conclus $\left|\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\right| \leq M(b-a)$ .

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Application guidée 1

Montrer que $\left|\int_0^1 \frac{\sin t}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\right| \leq 1$ .

Application guidée 2

Montrer que $\left|\int_0^1 t^n e^{-t}\,\mathrm{d}t\right| \leq \frac{1}{n+1}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 1

Montrer que $\left|\int_1^2 \frac{\ln t}{t^3}\,\mathrm{d}t\right| \leq \ln 2$ .

Application autonome 2

Montrer que $\left|\int_0^{\pi} \dfrac{\cos(t)}{1+t}\,\mathrm{d}t\right| \leqslant \ln(1+\pi)$ .

Application autonome 3

Pour $n\in\mathbb{N}^*$ , montrer que $\left|\int_0^1 \dfrac{\sin(nt)}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\right|\leqslant \dfrac{\pi}{4}$ .

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En utilisant ∣∫f∣≤∫∣f∣\left|\int f\right| \leq \int |f|​∫f​≤∫∣f∣ puis en majorant ∣f∣|f|∣f∣

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En utilisant $\left|\int f\right| \leq \int |f|$ puis en majorant $|f|$