Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?

En conjecturant une majoration puis par récurrence

L'objectif

Établir qu'une suite est majorée (ou minorée, ou bornée) en démontrant l'inégalité $u_n \leq M$ par récurrence.

Le principe

Si $P(n): u_n \leq M$ est vraie au rang initial et si $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ , alors $(u_n)$ est majorée par $M$ .

La méthode

1
Je calcule les premiers termes $u_0, u_1, u_2, \ldots$ pour conjecturer une valeur candidate $M$ (ou un encadrement).
2
Je pose l'hypothèse de récurrence $P(n): u_n \leq M$ et je vérifie l'initialisation au rang $0$ .
3
Je suppose $P(n)$ vraie : je majore $u_{n+1}$ en utilisant la relation de définition et l'hypothèse de récurrence pour obtenir $u_{n+1} \leq M$ .
4
Je conclus par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq M$ , donc $(u_n)$ est majorée par $M$ .

Difficulté croissante de 1 à 3

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