Comment effectuer une intégration par parties ? | MetMat

Comment effectuer une intégration par parties ?

En posant $u$ et $v'$ et en appliquant $\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v$

Calculer une intégrale d'un produit de fonctions en dérivant l'un des facteurs et en primitivant l'autre.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $I = \int_0^1 t\,e^t\,\mathrm{d}t$ .

L'objectif

Calculer une intégrale d'un produit de fonctions en dérivant l'un des facteurs et en primitivant l'autre.

Le principe

Si $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b u(t)v'(t)\,\mathrm{d}t = \big[u(t)v(t)\big]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t)\,\mathrm{d}t$ .

La méthode

1
Je choisis $u$ (facteur qui se simplifie par dérivation, ex : $\ln$ , polynôme) et $v'$ (facteur facile à primitiver, ex : $e^t$ , $\cos$ , $t^n$ ).
2
Je vérifie que $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ , puis je calcule $u'$ et $v$ .
Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^p$ ou $\mathcal{C}^\infty$ ?Voir
3
J'applique la formule : $\int_a^b uv' = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u'v$ .
4
Je calcule le crochet $\big[uv\big]_a^b$ puis l'intégrale restante, et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Calculer $I = \int_0^1 t\,e^t\,\mathrm{d}t$ .

Étape 1 —

Je choisis

u

(facteur qui se simplifie par dérivation, ex :

\ln

, polynôme) et

v'

(facteur facile à primitiver, ex :

e^t

\cos

t^n

Je pose $u(t)=t$ (se simplifie par dérivation) et $v'(t)=e^t$ (facile à primitiver).

Étape 2 —

Je vérifie que

u

v

sont de classe

\mathcal{C}^1

sur

[a,b]

, puis je calcule

u'

v

$u$ et $v$ sont $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$ , $u'(t)=1$ et $v(t)=e^t$ .

Étape 3 —

J'applique la formule :

\int_a^b uv' = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u'v

$I = \big[te^t\big]_0^1 - \int_0^1 1\cdot e^t\,\mathrm{d}t = \big[te^t\big]_0^1 - \big[e^t\big]_0^1$ .

Étape 4 —

Je calcule le crochet

\big[uv\big]_a^b

puis l'intégrale restante, et je conclus.

$I = (1\cdot e - 0) - (e-1) = 1$ .

$I = 1$ .

Application guidée

Calculer $J = \int_1^e \ln t\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 1

Calculer $K = \int_0^1 t^2 e^{-t}\,\mathrm{d}t$ (deux IPP successives).

Application autonome 2

Calculer $I=\displaystyle\int_0^{\pi/2} x\sin(x)\,\mathrm{d}x$ .

Application autonome 3

Calculer $I=\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} x\ln(x)\,\mathrm{d}x$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En posant uuu et v′v'v′ et en appliquant ∫abuv′=[uv]ab−∫abu′v\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v∫ab​uv′=[uv]ab​−∫ab​u′v

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $u$ et $v'$ et en appliquant $\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v$