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Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?

En utilisant : en dimension finie avec dim⁡E=dim⁡F\dim E=\dim F, injective ⇔\Leftrightarrow surjective ⇔\Leftrightarrow bijective

L'objectif

Prouver la bijectivité d'une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie en ne vérifiant qu'une seule des propriétés (injective OU surjective).

Le principe

Si EE et FF sont de dimension finie avec dim⁡E=dim⁡F\dim E=\dim F, alors pour f∈L(E,F)f\in\mathcal{L}(E,F) : ff injective ⇔\Leftrightarrow ff surjective ⇔\Leftrightarrow ff bijective (conséquence directe de la formule du rang).

La méthode
  1. 1
    Je vérifie les hypothèses : EE et FF sont de dimension finie et dim⁡E=dim⁡F\dim E=\dim F (en particulier pour un endomorphisme).
  2. 2
    Je choisis la propriété la plus simple à prouver : soit injectivité (Ker f={0E}\mathrm{Ker}\,f=\{0_E\}), soit surjectivité (rg(f)=dim⁡F\mathrm{rg}(f)=\dim F).
  3. 3
    Je démontre cette propriété en résolvant f(x)=0Ef(x)=0_E (pour l'injectivité) ou en exhibant une famille génératrice de Im f\mathrm{Im}\,f.
    Voir
  4. 4
    Je conclus directement que ff est bijective, c'est-à-dire un isomorphisme de EE sur FF.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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