Comment appliquer la condition suffisante d'ordre 2 pour un extremum local ? | MetMat

Comment appliquer la condition suffisante d'ordre 2 pour un extremum local ?

En étudiant le signe de $f''(x_0)$ au point critique

Statuer sur la nature d'un point critique d'une fonction $\mathcal{C}^2$ à l'aide du signe de $f''$ en ce point.

L'objectif

Statuer sur la nature d'un point critique d'une fonction $\mathcal{C}^2$ à l'aide du signe de $f''$ en ce point.

Le principe

Si $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0\in I$ vérifie $f'(x_0)=0$ , alors $f''(x_0)>0 \Rightarrow$ minimum local strict, $f''(x_0)<0 \Rightarrow$ maximum local strict ; si $f''(x_0)=0$ on ne peut pas conclure directement (ce résultat se démontre via la formule de Taylor-Young à l'ordre 2).

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle ouvert $I$ et que $x_0\in I$ est un point critique : $f'(x_0)=0$ .
Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ ?Voir
2
Je calcule $f''(x_0)$ .
3
Si $f''(x_0)>0$ , je conclus que $f$ admet un minimum local strict en $x_0$ ; si $f''(x_0)<0$ , un maximum local strict ; si $f''(x_0)=0$ , je passe par une étude plus fine (signe de $f'$ autour de $x_0$ ou Taylor-Young à un ordre supérieur).
Comment obtenir un DL par la formule de Taylor-Young ?Voir

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Exercice d'exemple

Nature du point critique de $f\colon x\mapsto x^2-2x+3$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est

\mathcal{C}^2

sur un intervalle ouvert

I

et que

x_0\in I

est un point critique :

f'(x_0)=0

$f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=2x-2$ s'annule en $x_0=1$ .

Étape 2 —

Je calcule

f''(x_0)

$f''(x)=2$ , donc $f''(1)=2>0$ .

Étape 3 —

f''(x_0)>0

, je conclus que

f

admet un minimum local strict en

x_0

; si

f''(x_0)<0

, un maximum local strict ; si

f''(x_0)=0

, je passe par une étude plus fine (signe de

f'

autour de

x_0

ou Taylor-Young à un ordre supérieur).

$f$ admet un minimum local strict en $x_0=1$ , de valeur $f(1)=2$ .

Minimum local (et global) strict en $x_0=1$ , de valeur $2$ .

Application guidée

Étudier le point critique $x_0=0$ de $g\colon x\mapsto \cos(x)$ sur $]-\pi,\pi[$ .

Application autonome 1

Étudier le point critique $x_0=0$ de $h\colon x\mapsto x^4$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Étudier le point critique de $f\colon x\mapsto\mathrm{e}^x-x$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Étudier les points critiques de $f\colon x\mapsto x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ .

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En étudiant le signe de f′′(x0)f''(x_0)f′′(x0​) au point critique

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En étudiant le signe de $f''(x_0)$ au point critique