Comment appliquer la condition suffisante d'ordre 2 pour un extremum local ?

En étudiant le signe de $f''(x_0)$ au point critique

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Nature du point critique de $f\colon x\mapsto x^2-2x+3$ sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle ouvert $I$ et que $x_0\in I$ est un point critique : $f'(x_0)=0$ .
Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ ?Voir
2
Je calcule $f''(x_0)$ .
3
Si $f''(x_0)>0$ , je conclus que $f$ admet un minimum local strict en $x_0$ ; si $f''(x_0)<0$ , un maximum local strict ; si $f''(x_0)=0$ , je passe par une étude plus fine (signe de $f'$ autour de $x_0$ ou Taylor-Young à un ordre supérieur).
Comment obtenir un DL par la formule de Taylor-Young ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Nature du point critique de $f\colon x\mapsto x^2-2x+3$ sur $\mathbb{R}$ .

1

$f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=2x-2$ s'annule en $x_0=1$ .

2

$f''(x)=2$ , donc $f''(1)=2>0$ .

3

$f$ admet un minimum local strict en $x_0=1$ , de valeur $f(1)=2$ .

Minimum local (et global) strict en $x_0=1$ , de valeur $2$ .

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Comment appliquer la condition suffisante d'ordre 2 pour un extremum local ?

En étudiant le signe de f′′(x0)f''(x_0)f′′(x0​) au point critique

Pour comprendre, passons aux exercices.

En étudiant le signe de $f''(x_0)$ au point critique