Comment calculer une valeur… : En sommant (b-a)/n × ∑ f(a + k(b-a)/n)… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment calculer une valeur approchée d'une intégrale par la méthode des rectangles ?

En sommant (b-a)/n × ∑ f(a + k(b-a)/n) pour k de 0 à n-1

Obtenir une valeur approchée de $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ pour une fonction $f$ continue sur $[a, b]$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Approcher $\int_0^1 x^2 \,\mathrm{d}x$ (valeur exacte $1/3$ ) par la méthode des rectangles avec $n=1000$ .

L'objectif

Obtenir une valeur approchée de $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ pour une fonction $f$ continue sur $[a, b]$ .

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors $\dfrac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k\dfrac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ (somme de Riemann à gauche).

La méthode

1
Je définis la fonction $f$ en Python et je fixe les bornes $a$ , $b$ et le nombre $n$ de subdivisions.
2
Je pose le pas $h = (b - a)/n$ et j'initialise la somme $S = 0$ .
3
Je parcours for k in range(n): en ajoutant $f(a + k \cdot h)$ à $S$ .
4
Je multiplie la somme par $h$ et je renvoie le résultat, qui approche $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Approcher $\int_0^1 x^2 \,\mathrm{d}x$ (valeur exacte $1/3$ ) par la méthode des rectangles avec $n=1000$ .

Étape 1 —

Je définis la fonction

f

en Python et je fixe les bornes

a

b

et le nombre

n

de subdivisions.

Je définis f et fixe $a=0$ , $b=1$ , $n=1000$ .

Étape 2 —

Je pose le pas

h = (b - a)/n

et j'initialise la somme

S = 0

Je pose $h = 1/1000$ et $S=0$ .

Étape 3 —

Je parcours for k in range(n): en ajoutant

f(a + k \cdot h)

S

Pour $k$ de $0$ à $999$ , je calcule $f(0 + k \cdot h) = (kh)^2$ et je l'ajoute à $S$ .

Étape 4 —

Je multiplie la somme par

h

et je renvoie le résultat, qui approche

\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t

Je multiplie $S$ par $h$ .

def f(x):
    return x**2

a, b, n = 0.0, 1.0, 1000
h = (b - a) / n
S = 0
for k in range(n):
    S = S + f(a + k * h)
I = h * S
print(I)

I $\approx 0{,}3328$ , proche de $1/3 \approx 0{,}3333$ .

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