En échangeant lignes et colonnes, et en utilisant $(AB)^\top=B^\top A^\top$

Obtenir $\,^tA$ et transposer des expressions matricielles combinées.

L'objectif

Obtenir $\,^tA$ et transposer des expressions matricielles combinées.

Le principe

Si $A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ , alors $\,^tA=(a_{ji})\in\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$ ; de plus $\,^t(A+B)=\,^tA+\,^tB$ , $\,^t(\lambda A)=\lambda\,^tA$ et $\,^t(AB)=\,^tB\,^tA$ .

La méthode

1
J'identifie le format de $A$ : si $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ , alors $\,^tA\in\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$ .
2
Je construis $\,^tA$ en plaçant la $i$ -ème ligne de $A$ en $i$ -ème colonne de $\,^tA$ .
3
Pour une expression composée, j'applique les règles $\,^t(A+B)=\,^tA+\,^tB$ et $\,^t(AB)=\,^tB\,^tA$ .
4
Je vérifie les formats obtenus et simplifie si possible.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\,^tA$ pour $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

J'identifie le format de

A

: si

A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})

, alors

\,^tA\in\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})

$A\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ donc $\,^tA\in\mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$ .

Étape 2 —

Je construis

\,^tA

en plaçant la

i

-ème ligne de

A

i

-ème colonne de

\,^tA

La 1re ligne de $A$ , $(1,2,3)$ , devient la 1re colonne de $\,^tA$ ; la 2e ligne $(4,5,6)$ devient la 2e colonne.

Étape 3 —

Pour une expression composée, j'applique les règles

\,^t(A+B)=\,^tA+\,^tB

\,^t(AB)=\,^tB\,^tA

Pas d'expression composée ici, je passe à la vérification.

Étape 4 —

Je vérifie les formats obtenus et simplifie si possible.

$\,^tA=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}$ est bien de format $3\times 2$ .

$\,^tA=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}$ .

Application guidée

Avec $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&0\\-1&2\end{pmatrix}$ , calculer $\,^t(AB)$ .

Application autonome 1

Montrer que pour tout $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , la matrice $A+\,^tA$ est symétrique.

Application autonome 2

Soit $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}$ . Calculer $A\,^tA$ et $\,^tAA$ , et vérifier qu'elles sont symétriques.

Application autonome 3

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Montrer que $\,^tA\,A$ est symétrique.

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En échangeant lignes et colonnes, et en utilisant (AB)⊤=B⊤A⊤(AB)^\top=B^\top A^\top(AB)⊤=B⊤A⊤

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En échangeant lignes et colonnes, et en utilisant $(AB)^\top=B^\top A^\top$