Comment déterminer la loi d'une VAR discrète ?

En déterminant $X(\Omega)$ et en calculant $P(X=k)$ via SCE ou indépendance

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance indéfiniment une pièce de probabilité $p\in ]0,1[$ d'obtenir pile, les lancers étant indépendants. Soit $X$ le rang du premier pile. Déterminer la loi de $X$ .

La méthode

1
Je détermine $X(\Omega)$ en listant les valeurs possibles de $X$ d'après l'expérience.
2
Pour chaque $k\in X(\Omega)$ , j'exprime l'événement $[X=k]$ en fonction d'événements élémentaires (indépendants ou dont un SCE est connu).
3
Je calcule $P(X=k)$ par indépendance ou par la formule des probabilités totales avec un SCE adapté.
Comment appliquer la formule des probabilités totales ?Voir
4
Je vérifie $\sum_{k\in X(\Omega)} P(X=k)=1$ pour contrôler le résultat.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On lance indéfiniment une pièce de probabilité $p\in ]0,1[$ d'obtenir pile, les lancers étant indépendants. Soit $X$ le rang du premier pile. Déterminer la loi de $X$ .

1

$X(\Omega)=\mathbb{N}^*$ : le premier pile peut apparaître à n'importe quel rang $k\geq 1$ .

2

Pour $k\geq 1$ , $[X=k]=F_1 \cap F_2 \cap \dots \cap F_{k-1} \cap P_k$ (face aux $k-1$ premiers lancers puis pile).

3

Par indépendance des lancers, $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ .

4

$\sum_{k=1}^{+\infty} (1-p)^{k-1}p = p \cdot \frac{1}{1-(1-p)}=1$ .

$X(\Omega)=\mathbb{N}^*$ et $\forall k\geq 1,\ P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ (loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ ).

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\mathcal{P}(\lambda)

?

Comment déterminer la loi d'une VAR discrète ?

En déterminant X(Ω)X(\Omega)X(Ω) et en calculant P(X=k)P(X=k)P(X=k) via SCE ou indépendance

Pour comprendre, passons aux exercices.

En déterminant $X(\Omega)$ et en calculant $P(X=k)$ via SCE ou indépendance