Comment écrire la négation d'une proposition mathématique ?

En appliquant les règles de négation des connecteurs et quantificateurs

L'objectif

Obtenir mécaniquement la négation d'une proposition mathématique quelconque.

Le principe

Les règles de De Morgan donnent $\neg(P \text{ et } Q) \Leftrightarrow (\neg P) \text{ ou } (\neg Q)$ , $\neg(P \text{ ou } Q) \Leftrightarrow (\neg P) \text{ et } (\neg Q)$ , $\neg(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \text{ et } \neg Q$ , $\neg(\forall x,\, P(x)) \Leftrightarrow \exists x,\, \neg P(x)$ et $\neg(\exists x,\, P(x)) \Leftrightarrow \forall x,\, \neg P(x)$ .

La méthode

1
J'écris la proposition en faisant apparaître explicitement tous les quantificateurs et connecteurs.
2
Je remplace chaque $\forall$ par $\exists$ et chaque $\exists$ par $\forall$ , en propageant la négation vers l'intérieur.
3
J'applique les règles de De Morgan aux connecteurs : $\neg(\text{et})$ devient $\text{ou}$ , $\neg(\text{ou})$ devient $\text{et}$ , et $\neg(P \Rightarrow Q)$ devient $P \text{ et } \neg Q$ .
4
Je nie la proposition atomique finale (par exemple $=$ devient $\neq$ , $\leqslant$ devient $>$ ).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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