Comment utiliser l'approximation… : En utilisant B(n,lambda/n) → P(lambda)… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment utiliser l'approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson ?

En utilisant $\mathcal{B}(n,\lambda/n) \to \mathcal{P}(\lambda)$ ponctuellement (quand n grand et λ modéré)

Approcher $P(X_n=k)$ pour $X_n\hookrightarrow \mathcal{B}(n,\lambda/n)$ par $P(X=k)$ avec $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Sur une chaîne de production, chaque pièce est défectueuse avec probabilité $p=0{,}01$ , indépendamment des autres. Sur un lot de $n=200$ pièces, estimer la probabilité d'avoir exactement $3$ pièces défectueuses.

L'objectif

Approcher $P(X_n=k)$ pour $X_n\hookrightarrow \mathcal{B}(n,\lambda/n)$ par $P(X=k)$ avec $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ .

Le principe

Si $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite de variables aléatoires suivant $\mathcal{B}(n,\lambda/n)$ avec $\lambda>0$ fixé, alors pour tout $k\in\mathbb{N}$ : $\lim_{n\to+\infty} P(X_n=k)=P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$ où $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ .

La méthode

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Je vérifie le cadre : une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p_n)$ avec $n$ grand et $p_n$ petit, telle que le produit $\lambda=np_n$ soit modéré (typiquement $n\geq 30$ , $p_n\leq 0{,}1$ , $np_n\leq 10$ ).
Comment reconnaître et utiliser une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ ?Voir
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Je pose $\lambda=np_n$ (ou, dans le cadre théorique du BO, $p_n=\lambda/n$ ) et j'introduis une variable $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ destinée à approcher $X_n$ .
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Pour chaque $k\in\mathbb{N}$ fixé, j'approche $P(X_n=k)\approx P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$ .
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Je conclus en donnant la valeur numérique de la probabilité cherchée et en précisant qu'il s'agit d'une approximation valable pour $n$ grand et $\lambda$ modéré.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie le cadre : une loi binomiale

\mathcal{B}(n,p_n)

avec

n

grand et

p_n

petit, telle que le produit

\lambda=np_n

soit modéré (typiquement

n\geq 30

p_n\leq 0{,}1

np_n\leq 10

Le nombre $X_n$ de pièces défectueuses suit $\mathcal{B}(200, 0{,}01)$ : $n=200$ grand, $p=0{,}01$ petit, $np=2$ modéré : l'approximation de Poisson s'applique.

Étape 2 —

Je pose

\lambda=np_n

(ou, dans le cadre théorique du BO,

p_n=\lambda/n

) et j'introduis une variable

X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)

destinée à approcher

X_n

On pose $\lambda=np=2$ et on introduit $X\hookrightarrow \mathcal{P}(2)$ .

Étape 3 —

Pour chaque

k\in\mathbb{N}

fixé, j'approche

P(X_n=k)\approx P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}

$P(X_n=3)\approx P(X=3)=e^{-2}\dfrac{2^3}{3!}=\dfrac{8e^{-2}}{6}=\dfrac{4e^{-2}}{3}$ .

Étape 4 —

Je conclus en donnant la valeur numérique de la probabilité cherchée et en précisant qu'il s'agit d'une approximation valable pour

n

grand et

\lambda

modéré.

Numériquement, $\dfrac{4e^{-2}}{3}\approx 0{,}180$ , approximation valide puisque $n$ grand et $\lambda=2$ modéré.

$P(X_n=3)\approx \dfrac{4e^{-2}}{3}\approx 0{,}180$ .

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Comment utiliser l'approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson ?

En utilisant B(n,λ/n)→P(λ)\mathcal{B}(n,\lambda/n) \to \mathcal{P}(\lambda)B(n,λ/n)→P(λ) ponctuellement (quand n grand et λ modéré)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\mathcal{B}(n,\lambda/n) \to \mathcal{P}(\lambda)$ ponctuellement (quand n grand et λ modéré)