En appliquant $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

Calculer l'inverse d'une matrice $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ lorsqu'il existe.

L'objectif

Calculer l'inverse d'une matrice $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ lorsqu'il existe.

Le principe

$A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq 0$ ; dans ce cas $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ .

La méthode

1
Je lis les coefficients $a,b,c,d$ de la matrice.
2
Je calcule $\Delta=ad-bc$ et je vérifie $\Delta\neq 0$ ; sinon $A$ n'est pas inversible.
3
J'écris $A^{-1}=\dfrac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ en permutant les termes diagonaux et en opposant les autres.
4
Je vérifie en calculant $AA^{-1}=I_2$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $A^{-1}$ pour $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je lis les coefficients

a,b,c,d

de la matrice.

Coefficients : $a=1,b=2,c=3,d=4$ .

Étape 2 —

Je calcule

\Delta=ad-bc

et je vérifie

\Delta\neq 0

; sinon

A

n'est pas inversible.

$\Delta=1\cdot4-2\cdot3=-2\neq 0$ , donc $A$ est inversible.

Étape 3 —

J'écris

A^{-1}=\dfrac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

en permutant les termes diagonaux et en opposant les autres.

$A^{-1}=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\3/2&-1/2\end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

Je vérifie en calculant

AA^{-1}=I_2

Vérification : $AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ , c'est bien $I_2$ .

$A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\3/2&-1/2\end{pmatrix}$ .

Application guidée

La matrice $B=\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}$ est-elle inversible ?

Application autonome 1

Résoudre le système $\begin{cases}x+2y=3\\3x+4y=7\end{cases}$ en utilisant $A^{-1}$ .

Application autonome 2

Calculer $A^{-1}$ pour $A=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Résoudre $\begin{cases}2x+y=3\\5x+3y=7\end{cases}$ via l'inverse de la matrice associée.

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En appliquant A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}A−1=ad−bc1​(d−c​−ba​)

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En appliquant $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$