Comment déterminer la dimension d'un espace vectoriel ?

En exhibant une base de $E$ et en comptant son cardinal

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer la dimension de $\mathbb{R}^3$ .

La méthode

1
On propose une famille $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_p)$ de vecteurs de $E$ , souvent suggérée par la structure de $E$ (coordonnées, degrés, coefficients matriciels).
2
On vérifie que $\mathcal{B}$ est libre (une combinaison linéaire nulle force tous les coefficients à être nuls) et génératrice (tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire de $\mathcal{B}$ ).
Comment montrer qu'une famille est libre ?Voir
3
On conclut que $\mathcal{B}$ est une base de $E$ et donc $\dim(E)=\mathrm{card}(\mathcal{B})=p$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Déterminer la dimension de $\mathbb{R}^3$ .

1

Je considère la famille canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ avec $e_1=(1,0,0)$ , $e_2=(0,1,0)$ , $e_3=(0,0,1)$ .

2

Si $a e_1+b e_2+c e_3=(0,0,0)$ alors $(a,b,c)=(0,0,0)$ donc $\mathcal{B}$ est libre ; et tout $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ s'écrit $x e_1+y e_2+z e_3$ , donc $\mathcal{B}$ est génératrice.

3

$\mathcal{B}$ est une base de cardinal $3$ , donc $\dim(\mathbb{R}^3)=3$ .

$\dim(\mathbb{R}^3)=3$ .

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Comment déterminer la dimension d'un espace vectoriel ?

En exhibant une base de EEE et en comptant son cardinal

Pour comprendre, passons aux exercices.

En exhibant une base de $E$ et en comptant son cardinal