Comment appliquer le théorème de la bijection ?

La fonction $f \colon x \mapsto x^3 + x$ est polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$.

$f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; $\lim_{x \to -\infty} f = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f = +\infty$, donc $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$.

Par le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ ; comme $10 \in \mathbb{R}$, l'équation $f(x) = 10$ admet une unique solution réelle.