Comment appliquer le théorème de la bijection ? | MetMat

Comment appliquer le théorème de la bijection ?

En montrant $f$ continue et strictement monotone sur $I$

Établir que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J = f(I)$ à déterminer, et l'exploiter pour résoudre une équation $f(x) = k$ .

L'objectif

Établir que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J = f(I)$ à déterminer, et l'exploiter pour résoudre une équation $f(x) = k$ .

Le principe

Théorème de la bijection : toute fonction $f \colon I \to \mathbb{R}$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ définit une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$ , dont les bornes sont les limites (ou valeurs) de $f$ aux bornes de $I$ ; la bijection réciproque est continue et de même sens de variation.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ considéré (opérations, composition, fonctions de référence).
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
J'établis la stricte monotonie de $f$ sur $I$ (signe strict de $f'$ , ou argument direct) et je détermine $f(I)$ via les limites de $f$ aux bornes de $I$ .
3
Je conclus que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$ ; pour tout $k \in f(I)$ , l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $I$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que l'équation $x^3 + x = 10$ admet une unique solution réelle.

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur l'intervalle

I

considéré (opérations, composition, fonctions de référence).

La fonction $f \colon x \mapsto x^3 + x$ est polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

J'établis la stricte monotonie de

f

sur

I

(signe strict de

f'

, ou argument direct) et je détermine

f(I)

via les limites de

f

aux bornes de

I

$f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ sur $\mathbb{R}$ , donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; $\lim_{x \to -\infty} f = -\infty$ , $\lim_{x \to +\infty} f = +\infty$ , donc $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Je conclus que

f

réalise une bijection de

I

sur

f(I)

; pour tout

k \in f(I)

, l'équation

f(x) = k

admet une unique solution dans

I

Par le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ ; comme $10 \in \mathbb{R}$ , l'équation $f(x) = 10$ admet une unique solution réelle.

L'équation admet une unique solution réelle.

Application guidée

Montrer que l'équation $\ln(x) + x = 0$ admet une unique solution sur $]0, +\infty[$ .

Application autonome 1

Montrer que $f \colon ]0, +\infty[ \to \mathbb{R},\ x \mapsto \ln(x)$ réalise une bijection et préciser sa réciproque.

Application autonome 2

Montrer que l'équation $\mathrm{e}^x=x+1$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Montrer que $f\colon ]-1,+\infty[\to \mathbb{R}$ , $x\mapsto \ln(1+x)$ réalise une bijection de $]-1,+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ et préciser sa réciproque.

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En montrant fff continue et strictement monotone sur III

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant $f$ continue et strictement monotone sur $I$