Comment étudier une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ ?

En étudiant f (intervalle stable, monotonie) et en conjecturant par récurrence

L'objectif

Étudier la convergence d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ en exhibant un intervalle stable et la monotonie.

Le principe

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ stable par $f$ (i.e. $f(I) \subset I$ ) et si $u_0 \in I$ , alors $(u_n) \subset I$ ; si de plus $(u_n)$ est monotone et bornée, elle converge vers un point fixe $\ell$ de $f$ dans $I$ .

La méthode

1
J'étudie $f$ : domaine, monotonie, points fixes (résolution de $f(x)=x$ ).
2
Je détermine un intervalle $I$ contenant $u_0$ tel que $f(I) \subset I$ , et je montre par récurrence que $u_n \in I$ pour tout $n$ .
Comment démontrer une propriété par récurrence simple ?Voir
3
J'étudie la monotonie de $(u_n)$ (en comparant $u_1$ et $u_0$ , ou par le signe de $f(x)-x$ sur $I$ ).
4
Je conclus : si $(u_n)$ est monotone bornée, elle converge vers le point fixe $\ell \in I$ de $f$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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