Comment étudier une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ ? | MetMat

Comment étudier une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ ?

En étudiant f (intervalle stable, monotonie) et en conjecturant par récurrence

Étudier la convergence d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ en exhibant un intervalle stable et la monotonie.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ . Étudier la convergence de $(u_n)$ .

L'objectif

Étudier la convergence d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ en exhibant un intervalle stable et la monotonie.

Le principe

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ stable par $f$ (i.e. $f(I) \subset I$ ) et si $u_0 \in I$ , alors $(u_n) \subset I$ ; si de plus $(u_n)$ est monotone et bornée, elle converge vers un point fixe $\ell$ de $f$ dans $I$ .

La méthode

1
J'étudie $f$ : domaine, monotonie, points fixes (résolution de $f(x)=x$ ).
2
Je détermine un intervalle $I$ contenant $u_0$ tel que $f(I) \subset I$ , et je montre par récurrence que $u_n \in I$ pour tout $n$ .
Comment démontrer une propriété par récurrence simple ?Voir
3
J'étudie la monotonie de $(u_n)$ (en comparant $u_1$ et $u_0$ , ou par le signe de $f(x)-x$ sur $I$ ).
4
Je conclus : si $(u_n)$ est monotone bornée, elle converge vers le point fixe $\ell \in I$ de $f$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ . Étudier la convergence de $(u_n)$ .

Étape 1 —

J'étudie

f

: domaine, monotonie, points fixes (résolution de

f(x)=x

Je pose $f(x)=\sqrt{x+2}$ , définie et croissante sur $[-2,+\infty[$ . Points fixes : $\sqrt{x+2}=x \Leftrightarrow x+2=x^2, x \geq 0$ , donne $x=2$ .

Étape 2 —

Je détermine un intervalle

I

contenant

u_0

tel que

f(I) \subset I

, et je montre par récurrence que

u_n \in I

pour tout

n

Je montre que $I=[1,2]$ est stable : pour $x \in [1,2]$ , $\sqrt{x+2}\in [\sqrt{3},2]\subset [1,2]$ . Par récurrence, $u_n \in [1,2]$ .

Étape 3 —

J'étudie la monotonie de

(u_n)

(en comparant

u_1

u_0

, ou par le signe de

f(x)-x

sur

I

Sur $[1,2]$ , $f(x)-x=\sqrt{x+2}-x \geq 0$ (car $x=2$ est le seul point fixe et $f(1)-1=\sqrt{3}-1>0$ ). Donc $u_{n+1}\geq u_n$ : $(u_n)$ est croissante.

Étape 4 —

Je conclus : si

(u_n)

est monotone bornée, elle converge vers le point fixe

\ell \in I

f

Croissante et majorée par $2$ , $(u_n)$ converge vers l'unique point fixe $\ell=2$ de $f$ dans $[1,2]$ .

$u_n \to 2$ .

Application guidée

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n^2+1)$ . Étudier la convergence.

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=\frac{u_n+2}{u_n}$ . Étudier la convergence.

Application autonome 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=u_n^2+\tfrac{1}{4}$ . Étudier la convergence.

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$ . Étudier la convergence.

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