En utilisant les opérations sur $\mathcal{C}^1$

Conclure que $f$ est $\mathcal{C}^1$ par des arguments d'opérations, sans revenir à la définition.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x)=\ln(1+\mathrm{e}^x)$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Conclure que $f$ est $\mathcal{C}^1$ par des arguments d'opérations, sans revenir à la définition.

Le principe

$\mathcal{C}^1$ est stable par somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composition : toute fonction obtenue à partir des fonctions de référence est $\mathcal{C}^1$ sur son domaine de définition.

La méthode

1
Je décompose $f$ en fonctions de référence $\mathcal{C}^1$ (polynômes, $\exp$ , $\ln$ , $\sqrt{\cdot}$ , etc.).
2
Je vérifie les conditions d'existence (positivité de l'argument du $\ln$ , dénominateur non nul, argument positif du $\sqrt{\cdot}$ ) sur l'intervalle étudié.
3
Je conclus, par stabilité de $\mathcal{C}^1$ par opérations, que $f\in\mathcal{C}^1(I)$ .

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Exercice d'exemple

Montrer que $f(x)=\ln(1+\mathrm{e}^x)$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je décompose

f

en fonctions de référence

\mathcal{C}^1

(polynômes,

\exp

\ln

\sqrt{\cdot}

, etc.).

$f=\ln\circ(1+\exp)$ avec $\exp\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ et $\ln\in\mathcal{C}^1(]0,+\infty[)$ .

Étape 2 —

Je vérifie les conditions d'existence (positivité de l'argument du

\ln

, dénominateur non nul, argument positif du

\sqrt{\cdot}

) sur l'intervalle étudié.

$1+\mathrm{e}^x>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ , donc la composition est bien définie.

Étape 3 —

Je conclus, par stabilité de

\mathcal{C}^1

par opérations, que

f\in\mathcal{C}^1(I)

Par stabilité de $\mathcal{C}^1$ par composition et somme, $f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ .

$f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ .

Application guidée

Montrer que $g(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^2+1}$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Montrer que $f(x)=\sin(x)\,\sqrt{1+x^2}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Montrer que $h(x)=\dfrac{1}{1+x^4}$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Montrer que $k(x)=x^2\ln(1+\mathrm{e}^x)$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

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En utilisant les opérations sur C1\mathcal{C}^1C1

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