Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ ?

En utilisant les opérations sur $\mathcal{C}^1$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x)=\ln(1+\mathrm{e}^x)$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Je décompose $f$ en fonctions de référence $\mathcal{C}^1$ (polynômes, $\exp$ , $\ln$ , $\sqrt{\cdot}$ , etc.).
2
Je vérifie les conditions d'existence (positivité de l'argument du $\ln$ , dénominateur non nul, argument positif du $\sqrt{\cdot}$ ) sur l'intervalle étudié.
3
Je conclus, par stabilité de $\mathcal{C}^1$ par opérations, que $f\in\mathcal{C}^1(I)$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x)=\ln(1+\mathrm{e}^x)$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

1

$f=\ln\circ(1+\exp)$ avec $\exp\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ et $\ln\in\mathcal{C}^1(]0,+\infty[)$ .

2

$1+\mathrm{e}^x>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ , donc la composition est bien définie.

3

Par stabilité de $\mathcal{C}^1$ par composition et somme, $f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ .

$f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ .

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