Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^p$ ou $\mathcal{C}^\infty$ ? | MetMat

Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^p$ ou $\mathcal{C}^\infty$ ?

En utilisant les opérations (somme/produit/composée conservent $\mathcal{C}^\infty$ ) et en raisonnant par récurrence sur le degré de dérivabilité

Prouver qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est de classe $\mathcal{C}^p$ ou $\mathcal{C}^\infty$ sur $I$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f \colon x \mapsto \mathrm{e}^{x^2}$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Prouver qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est de classe $\mathcal{C}^p$ ou $\mathcal{C}^\infty$ sur $I$ .

Le principe

Les fonctions usuelles (polynômes, $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , $x\mapsto x^\alpha$ sur $\mathbb{R}_+^*$ ) sont de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur leur domaine, et la classe $\mathcal{C}^p$ est stable par somme, produit, quotient (en un point où le dénominateur ne s'annule pas) et composée.

La méthode

1
On identifie le domaine $I$ sur lequel on travaille et on vérifie que toutes les fonctions élémentaires impliquées y sont bien définies (dénominateur non nul, argument du $\ln$ strictement positif, etc.).
2
On reconnaît $f$ comme résultat d'opérations (somme, produit, quotient, composée) de fonctions usuelles de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $I$ .
3
On invoque les théorèmes d'opérations qui disent que la classe $\mathcal{C}^p$ (et donc $\mathcal{C}^\infty$ ) est stable par ces opérations, pour conclure que $f$ est de classe $\mathcal{C}^p$ ou $\mathcal{C}^\infty$ sur $I$ .
Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ ?Voir
4
Si besoin, on raisonne par récurrence sur $p$ : on montre qu'une hypothèse de régularité $\mathcal{C}^p$ entraîne $\mathcal{C}^{p+1}$ en dérivant la relation et en réutilisant la stabilité par opérations.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f \colon x \mapsto \mathrm{e}^{x^2}$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

On identifie le domaine

I

sur lequel on travaille et on vérifie que toutes les fonctions élémentaires impliquées y sont bien définies (dénominateur non nul, argument du

\ln

strictement positif, etc.).

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, aucune restriction de domaine n'est nécessaire.

Étape 2 —

On reconnaît

f

comme résultat d'opérations (somme, produit, quotient, composée) de fonctions usuelles de classe

\mathcal{C}^\infty

sur

I

Je reconnais $f = \exp \circ g$ avec $g \colon x \mapsto x^2$ , et $\exp$ et $g$ sont toutes deux de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

On invoque les théorèmes d'opérations qui disent que la classe

\mathcal{C}^p

(et donc

\mathcal{C}^\infty

) est stable par ces opérations, pour conclure que

f

est de classe

\mathcal{C}^p

\mathcal{C}^\infty

sur

I

La composée de deux fonctions de classe $\mathcal{C}^\infty$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ , donc $f$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 4 —

Si besoin, on raisonne par récurrence sur

p

: on montre qu'une hypothèse de régularité

\mathcal{C}^p

entraîne

\mathcal{C}^{p+1}

en dérivant la relation et en réutilisant la stabilité par opérations.

Aucune récurrence n'est nécessaire : la conclusion est immédiate par composition.

$f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée

Montrer que $g \colon x \mapsto \dfrac{\ln(x)}{1+x^2}$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}_+^*$ .

Application autonome 1

Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue sur $\mathbb{R}$ telle que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f(x) = x + \int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ . Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Montrer que $f\colon x\mapsto\sin(x)\mathrm{e}^x$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Montrer que $h\colon x\mapsto\dfrac{1}{1+x^2}$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

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En utilisant les opérations (somme/produit/composée conservent C∞\mathcal{C}^\inftyC∞) et en raisonnant par récurrence sur le degré de dérivabilité

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant les opérations (somme/produit/composée conservent $\mathcal{C}^\infty$ ) et en raisonnant par récurrence sur le degré de dérivabilité