Comment calculer une intégrale… : En déterminant une primitive F de f et… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?

En déterminant une primitive $F$ de $f$ et en appliquant $F(b)-F(a)$

Calculer exactement une intégrale $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ lorsque $f$ admet une primitive usuelle.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $I = \int_0^1 (3t^2 + 2t)\,\mathrm{d}t$ .

L'objectif

Calculer exactement une intégrale $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ lorsque $f$ admet une primitive usuelle.

Le principe

Si $f$ est continue sur un intervalle contenant $[a,b]$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur cet intervalle, alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b)-F(a)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur un intervalle $I$ contenant $[a,b]$ , ce qui garantit l'existence d'une primitive.
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je reconnais la forme de $f$ (polynôme, exponentielle, puissance, forme $\frac{u'}{u}$ , $u'e^u$ , $u'u^n$ ...) pour trouver une primitive $F$ .
3
J'écris $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \big[F(t)\big]_a^b = F(b)-F(a)$ .
4
Je calcule $F(b)-F(a)$ en valeurs exactes et je simplifie.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $I = \int_0^1 (3t^2 + 2t)\,\mathrm{d}t$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur un intervalle

I

contenant

[a,b]

, ce qui garantit l'existence d'une primitive.

La fonction $t \mapsto 3t^2+2t$ est polynomiale donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $[0,1]$ .

Étape 2 —

Je reconnais la forme de

f

(polynôme, exponentielle, puissance, forme

\frac{u'}{u}

u'e^u

u'u^n

...) pour trouver une primitive

F

Une primitive est $F(t) = t^3 + t^2$ (primitive d'un polynôme terme à terme).

Étape 3 —

J'écris

\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \big[F(t)\big]_a^b = F(b)-F(a)

Ainsi $I = \big[t^3+t^2\big]_0^1 = F(1)-F(0)$ .

Étape 4 —

Je calcule

F(b)-F(a)

en valeurs exactes et je simplifie.

$I = (1+1)-(0+0) = 2$ .

$I = 2$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?

En déterminant une primitive FFF de fff et en appliquant F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)

Pour comprendre, fais des exercices !

En déterminant une primitive $F$ de $f$ et en appliquant $F(b)-F(a)$