En déterminant une primitive $F$ de $f$ et en appliquant $F(b)-F(a)$

L'objectif

Calculer exactement une intégrale $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ lorsque $f$ admet une primitive usuelle.

Le principe

Si $f$ est continue sur un intervalle contenant $[a,b]$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur cet intervalle, alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b)-F(a)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur un intervalle $I$ contenant $[a,b]$ , ce qui garantit l'existence d'une primitive.
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je reconnais la forme de $f$ (polynôme, exponentielle, puissance, forme $\frac{u'}{u}$ , $u'e^u$ , $u'u^n$ ...) pour trouver une primitive $F$ .
3
J'écris $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \big[F(t)\big]_a^b = F(b)-F(a)$ .
4
Je calcule $F(b)-F(a)$ en valeurs exactes et je simplifie.

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Application guidée 1

Calculer $I = \int_0^1 (3t^2 + 2t)\,\mathrm{d}t$ .

Application guidée 2

Calculer $J = \int_1^e \frac{\ln t}{t}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 1

Calculer $K = \int_0^{\ln 2} \frac{e^t}{1+e^t}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 2

Calculer $I=\int_0^{\pi/2} \sin(t)\cos(t)\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 3

Calculer $I=\int_0^1 \dfrac{2t}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$ .

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En déterminant une primitive FFF de fff et en appliquant F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)

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En déterminant une primitive $F$ de $f$ et en appliquant $F(b)-F(a)$