Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ? | MetMat

Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?

En déterminant une primitive $F$ de $f$ et en appliquant $F(b)-F(a)$

Calculer exactement une intégrale $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ lorsque $f$ admet une primitive usuelle.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $I = \int_0^1 (3t^2 + 2t)\,\mathrm{d}t$ .

L'objectif

Calculer exactement une intégrale $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ lorsque $f$ admet une primitive usuelle.

Le principe

Si $f$ est continue sur un intervalle contenant $[a,b]$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur cet intervalle, alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b)-F(a)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur un intervalle $I$ contenant $[a,b]$ , ce qui garantit l'existence d'une primitive.
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je reconnais la forme de $f$ (polynôme, exponentielle, puissance, forme $\frac{u'}{u}$ , $u'e^u$ , $u'u^n$ ...) pour trouver une primitive $F$ .
3
J'écris $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \big[F(t)\big]_a^b = F(b)-F(a)$ .
4
Je calcule $F(b)-F(a)$ en valeurs exactes et je simplifie.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $I = \int_0^1 (3t^2 + 2t)\,\mathrm{d}t$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur un intervalle

I

contenant

[a,b]

, ce qui garantit l'existence d'une primitive.

La fonction $t \mapsto 3t^2+2t$ est polynomiale donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $[0,1]$ .

Étape 2 —

Je reconnais la forme de

f

(polynôme, exponentielle, puissance, forme

\frac{u'}{u}

u'e^u

u'u^n

...) pour trouver une primitive

F

Une primitive est $F(t) = t^3 + t^2$ (primitive d'un polynôme terme à terme).

Étape 3 —

J'écris

\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \big[F(t)\big]_a^b = F(b)-F(a)

Ainsi $I = \big[t^3+t^2\big]_0^1 = F(1)-F(0)$ .

Étape 4 —

Je calcule

F(b)-F(a)

en valeurs exactes et je simplifie.

$I = (1+1)-(0+0) = 2$ .

$I = 2$ .

Application guidée

Calculer $J = \int_1^e \frac{\ln t}{t}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 1

Calculer $K = \int_0^{\ln 2} \frac{e^t}{1+e^t}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 2

Calculer $I=\int_0^{\pi/2} \sin(t)\cos(t)\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 3

Calculer $I=\int_0^1 \dfrac{2t}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En déterminant une primitive FFF de fff et en appliquant F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)

Pour comprendre, fais des exercices !

En déterminant une primitive $F$ de $f$ et en appliquant $F(b)-F(a)$