Comment étudier une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ à l'aide de l'IAF ?

En majorant $|u_n-\ell|\leq k|u_{n-1}-\ell|$ avec $k<1$

Prouver que $(u_n)$ converge vers un point fixe $\ell$ de $f$ avec une vitesse géométrique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}(u_n+2)$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers $2$ .

L'objectif

Prouver que $(u_n)$ converge vers un point fixe $\ell$ de $f$ avec une vitesse géométrique.

Le principe

Si $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle stable $I$ contenant $\ell$ point fixe de $f$ , et si $|f'|\leq k<1$ sur $I$ , alors $|u_n-\ell|\leq k|u_{n-1}-\ell|$ puis $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|\to 0$ .

La méthode

1
Je montre qu'il existe un intervalle $I$ stable par $f$ (i.e. $f(I)\subset I$ ) contenant $u_0$ , et je détermine le point fixe $\ell\in I$ tel que $f(\ell)=\ell$ .
2
Je prouve que $f$ est dérivable sur $I$ et je majore $|f'|\leq k<1$ sur $I$ .
3
J'applique l'IAF : $|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\leq k|u_n-\ell|$ , d'où par récurrence $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|\to 0$ , ce qui prouve que $u_n\to\ell$ .
Comment appliquer l'égalité ou l'inégalité des accroissements finis ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}(u_n+2)$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers $2$ .

Étape 1 —

Je montre qu'il existe un intervalle

I

stable par

f

(i.e.

f(I)\subset I

) contenant

u_0

, et je détermine le point fixe

\ell\in I

tel que

f(\ell)=\ell

Soit $f(x)=\dfrac{1}{2}(x+2)$ . $f$ est croissante, $I=[1,2]$ est stable par $f$ (car $f(1)=3/2\in I$ et $f(2)=2\in I$ ), et $\ell=2$ vérifie $f(\ell)=\ell$ .

Étape 2 —

Je prouve que

f

est dérivable sur

I

et je majore

|f'|\leq k<1

sur

I

$f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=\dfrac{1}{2}$ , donc $|f'|\leq k=\dfrac{1}{2}<1$ sur $I$ .

Étape 3 —

J'applique l'IAF :

|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\leq k|u_n-\ell|

, d'où par récurrence

|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|\to 0

, ce qui prouve que

u_n\to\ell

Par IAF, $|u_{n+1}-2|\leq\dfrac{1}{2}|u_n-2|$ , d'où $|u_n-2|\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^n|u_0-2|\to 0$ , donc $u_n\to 2$ .

$u_n\to 2$ .

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Comment étudier une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1​=f(un​) à l'aide de l'IAF ?

En majorant ∣un−ℓ∣≤k∣un−1−ℓ∣|u_n-\ell|\leq k|u_{n-1}-\ell|∣un​−ℓ∣≤k∣un−1​−ℓ∣ avec k<1k<1k<1

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment étudier une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ à l'aide de l'IAF ?

En majorant $|u_n-\ell|\leq k|u_{n-1}-\ell|$ avec $k<1$