Comment étudier une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ à l'aide de l'IAF ? | MetMat

Comment étudier une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ à l'aide de l'IAF ?

En majorant $|u_n-\ell|\leq k|u_{n-1}-\ell|$ avec $k<1$

L'objectif

Prouver que $(u_n)$ converge vers un point fixe $\ell$ de $f$ avec une vitesse géométrique.

Le principe

Si $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle stable $I$ contenant $\ell$ point fixe de $f$ , et si $|f'|\leq k<1$ sur $I$ , alors $|u_n-\ell|\leq k|u_{n-1}-\ell|$ puis $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|\to 0$ .

La méthode

1
Je montre qu'il existe un intervalle $I$ stable par $f$ (i.e. $f(I)\subset I$ ) contenant $u_0$ , et je détermine le point fixe $\ell\in I$ tel que $f(\ell)=\ell$ .
2
Je prouve que $f$ est dérivable sur $I$ et je majore $|f'|\leq k<1$ sur $I$ .
3
J'applique l'IAF : $|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\leq k|u_n-\ell|$ , d'où par récurrence $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|\to 0$ , ce qui prouve que $u_n\to\ell$ .
Comment appliquer l'égalité ou l'inégalité des accroissements finis ?Voir

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Application guidée 1

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}(u_n+2)$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers $2$ .

Application guidée 2

Soit $u_0\in[0,1]$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}(u_n^2+1)$ . Montrer que $(u_n)$ converge.

Application autonome 1

Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}(u_n+3)$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers $1$ .

Application autonome 2

Soit $u_0\in\mathbb{R}$ et $u_{n+1}=\cos(u_n)/2$ . Montrer que $(u_n)$ converge.

Application autonome 3

Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=\ln(1+u_n)+1$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers l'unique solution $\ell$ de $\ell=\ln(1+\ell)+1$ .

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En majorant ∣un−ℓ∣≤k∣un−1−ℓ∣|u_n-\ell|\leq k|u_{n-1}-\ell|∣un​−ℓ∣≤k∣un−1​−ℓ∣ avec k<1k<1k<1

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En majorant $|u_n-\ell|\leq k|u_{n-1}-\ell|$ avec $k<1$